قانون التسارع المركزي: حسابه من السرعة أو الزمن الدوري

القانون ومعنى رموزه

في a_c=v²/r تمثل v مقدار السرعة اللحظية بالمتر في الثانية، و r نصف قطر المسار الدائري بالمتر، على أن r>0. الناتج تسارع بالمتر في الثانية المربعة. لا يعوض بالقطر مكان نصف القطر، ولا يستعمل مقدار السرعة من دون تربيعه. ^[1]

إذا كانت السرعة معطاة بالكيلومتر في الساعة، حولها إلى م/ث بالقسمة على 3.6 قبل التعويض بوحدات النظام الدولي. وعند مراجعة الوحدات نجد (m/s)²/m=m/s²، وهي مراجعة سريعة تكشف استعمال كمية غير مناسبة.

مثال مباشر من السرعة ونصف القطر

يتحرك جسم على دائرة نصف قطرها 3 م بسرعة 6 م/ث. يصبح a_c=6²/3=36/3=12 m/s² نحو المركز. إذا بقي مقدار السرعة 6 م/ث، يستمر هذا التسارع بسبب تغير اتجاه المتجه، ولا يساوي صفرًا. ^[1]

إذا كانت كتلة الجسم 0.5 كغ، فالمحصلة الشعاعية المطلوبة F_c=ma_c=0.5×12=6 N. قد توفرها قوة شد أو احتكاك أو جاذبية أو تركيب من القوى حسب النظام؛ «القوة المركزية» اسم للمحصلة اللازمة نحو المركز، وليست قوة جديدة نضيفها إلى قائمة القوى الفعلية. ^[3]

وفي مثال آخر، سرعة 18 كم/ساعة تساوي 5 م/ث. إذا كان نصف القطر 10 م، فإن a_c=25/10=2.5 m/s²، لا 32.4 الناتجة من استعمال 18 مباشرة في صيغة بوحدات متر وثانية.

السرعة الزاوية والزمن الدوري

ترتبط السرعة الخطية بالزاوية عبر v=rω عندما تقاس ω بالراديان في الثانية. بالتعويض في القانون نحصل على a_c=rω². لا نستعمل درجات/ثانية داخل هذه الصيغة قبل تحويلها إلى راديان/ثانية. ^[2]

في الحركة الدائرية المنتظمة، الزمن الدوري T هو زمن دورة واحدة، و v=2πr/T، ولذلك a_c=4π²r/T². هذه الصورة تفترض أن سرعة الدوران ثابتة خلال الدورة؛ زمن دورة كاملة وحده لا يحدد السرعة اللحظية في دوران غير منتظم. ^[4]

لنقطة على دائرة نصف قطرها 0.5 م تتم دورة كل 2.5 ث، نجد v=2π×0.5/2.5≈1.257 m/s، ثم a_c=4π²×0.5/(2.5)²≈3.158 m/s². وفي المثال الأول، ω=6/3=2 rad/s وزمن الدورة T=π s، وهو متسق مع التسارع 12 م/ث².

لماذا لا تكفي عبارة «نصف القطر أكبر»؟

عند تثبيت v، يتناسب التسارع عكسيًا مع r. مثلًا عند 6 م/ث، الانتقال من نصف قطر 3 م إلى 6 م يخفض التسارع من 12 إلى 6 م/ث². أما مضاعفة السرعة عند نصف القطر نفسه فترفع التسارع إلى أربعة أمثاله. ^[1]

عند تثبيت ω بدل v، تصبح العلاقة a_c=rω² طردية مع نصف القطر. عند ω=2 rad/s، نصفا القطر 3 م و 6 م يعطيان 12 و 24 م/ث². لا يوجد تناقض: السرعة الخطية في الحالة الثانية ارتفعت من 6 إلى 12 م/ث. ^[2]

لهذا نذكر الكمية الثابتة في المقارنة. لا يمكن إبقاء v وω ثابتتين معًا ثم تغيير r بحرية، لأن العلاقة v=rω تربطها. يوضح الرسم الداخلي المقارنتين على محاور ذات الوحدات نفسها.

ماذا يحدث إذا تغير مقدار السرعة؟

في حركة دائرية غير منتظمة، يبقى المقدار v²/r هو المركبة المركزية اللحظية، وتضاف مركبة مماسية تعبر عن تغير مقدار السرعة: a_t=dv/dt. اتجاههما متعامد، فيكون مقدار التسارع الكلي √(a_c²+a_t²). ^[4]

مثلًا إذا كان a_c=12 m/s² ومقدار التسارع المماسي 5 م/ث²، فالمقدار الكلي 13 م/ث². التسارع الكلي هنا لا يشير إلى المركز مباشرة، رغم أن مركبته الشعاعية تتجه إلى المركز. وفي الدوران المنتظم تكون المركبة المماسية صفرًا.

قبل اعتماد الإجابة

• استعمل نصف القطر، وتحقق من وحدة السرعة والزمن.
• حدد إن كان المعطى سرعة لحظية أم زمن دورة في دوران منتظم.
• اكتب اتجاه التسارع نحو المركز بجانب مقداره.
• عند المقارنة، اذكر هل تثبت السرعة الخطية أم الزاوية.

التسارع لا يحتاج معرفة كتلة الجسم في القانون الحركي؛ تظهر الكتلة حين نسأل عن محصلة القوة المطلوبة. فصل السؤالين يجعل الحل أقصر وأوضح. ^[1][3]