القطع المكافئ: البؤرة والدليل والمعادلة بأمثلة

العناصر التي تصف المنحنى

البؤرة نقطة ثابتة ليست على الدليل. أما الدليل فمستقيم، وتقاس المسافة إليه بأقصر قطعة عمودية من النقطة. محور التماثل يمر بالبؤرة ويكون عموديًا على الدليل، والرأس هو نقطة المنحنى على هذا المحور، في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل. ^[1]

إذا تحركت على أحد فرعي المنحنى بعيدًا عن الرأس، تزداد المسافة إلى البؤرة، لكنها تبقى مساوية للمسافة إلى الدليل عند النقطة نفسها. هذه مساواة لمسافتين، وليست شرطًا يجعل جميع نقاط المنحنى على بعد ثابت من البؤرة كما في الدائرة.

الصورة الرأسية والصورة الأفقية

عندما يكون الرأس (h,k)، نستعمل p معاملًا ذا إشارة، لا مسافة سالبة. المسافة بين الرأس والبؤرة هي |p|، ونشترط p≠0. الصورة القياسية تحدد أين يظهر التربيع. ^[1]

يجب قراءة إشارات الإزاحة كما هي: التعبير y+2 هو y−(−2)، لذلك يحدد إحداثيًا رأسيًا للرأس يساوي −2، وليس 2. ومعامل 4p لا يساوي p؛ نقسمه على 4 لاستخراج p.

مثال رأسي: تحديد الرأس والبؤرة والدليل

في (x−1)²=8(y+2)، نقارن مع الصورة الرأسية. نحصل على h=1 و k=−2، ومن 4p=8 نجد p=2. إذن الرأس (1,−2)، والبؤرة (1,0)، والدليل y=−4، ومحور التماثل x=1، والفتحة إلى أعلى.

للتأكد، خذ النقطة P=(5,0). بالتعويض يكون الطرف الأيسر (5−1)²=16، والأيمن 8×(0+2)=16؛ إذن النقطة على المنحنى. بعدها عن البؤرة √((5−1)²+(0−0)²)=4، وبعدها العمودي عن الدليل |0−(−4)|=4.

يمكن استخراج نقطة أخرى بالتماثل حول x=1: النقطة (−3,0) تقابل (5,0). وفي الرسم نحدد الرأس والبؤرة والدليل قبل رسم المنحنى، ثم نستخدم نقاطًا مثل هاتين لاختبار الاتجاه والعرض.

مثال أفقي يفتح إلى اليسار

في (y+1)²=−12(x−2)، يظهر التربيع على y، فتكون الصورة أفقية. الرأس (2,−1)، و 4p=−12 يعطي p=−3. البؤرة (−1,−1)، والدليل x=5، ومحور التماثل y=−1، والفتحة إلى اليسار.

المسافة بين الرأس والبؤرة 3 وحدات، وهي القيمة المطلقة للمعامل p. ولا يصح وصف المماس عند الرأس بأنه أفقي في كل القطوع المكافئة؛ في هذه الحالة الأفقية يكون مماس الرأس رأسيًا. اتجاه المماس يتعلق باتجاه محور المنحنى.

علاقته بالدالة التربيعية

كل رسم لدالة تربيعية y=a(x−h)²+k مع a≠0 هو قطع مكافئ ذو محور رأسي. بإعادة ترتيب المعادلة نحصل على (x−h)²=(1/a)(y−k)، ومن ثم p=1/(4a). ^[2]

مثلًا في y=(x−1)²/8−2 يكون a مساويًا لـ 1/8، فيعطي p=2، وهي المعادلة نفسها للمثال الرأسي السابق. عند ثبات مقياس المحورين، زيادة |a| تجعل الرسم أضيق حول محوره.

لكن القطع الذي يفتح إلى اليمين أو اليسار لا يكون عادة رسم دالة وحيدة القيمة من النوع y=f(x) على كامل المنحنى؛ إذ قد تقابل قيمة x واحدة قيمتين لـ y. هذا يفسر لماذا يكون تعريف البؤرة والدليل أوسع من صورة الدالة التربيعية الرأسية.

لماذا تجمع العواكس المكافئة الأشعة؟

في النموذج الهندسي المثالي للانعكاس، تنعكس الأشعة المتوازية مع محور العاكس المكافئ نحو البؤرة. والعكس صحيح: الأشعة الخارجة من البؤرة تنعكس في اتجاهات متوازية مع المحور. في طبق ذي سطح ناتج من دوران القطع المكافئ حول محوره، تمتد الفكرة إلى سطح ثلاثي الأبعاد. ^[1]

الرسم الداخلي يمثل المقطع y=x²/8، رأسه (0,0) وبؤرته (0,2). عند x مساويًا لـ 4 أو −4 تصطدم الأشعة بالمنحنى عند ارتفاع 2، ثم تسير أفقيًا نحو البؤرة. وعند x مساويًا لـ 2 أو −2 يكون ارتفاع الاصطدام 0.5، فتتجه الأشعة المنعكسة مائلة إلى البؤرة.

هذه رسمة تفسيرية لعاكس مثالي، لا قياسًا لطبق حقيقي. دقة السطح واتجاه الأشعة ومكان المستقبِل تؤثر في الأداء العملي؛ لذلك نتجنب القول إن أي سطح مقعر يجمع الضوء بالطريقة نفسها.

قائمة فحص سريعة للمعادلة

• حدد المتغير المربع لتعرف اتجاه المحور.
• اقرأ إحداثيي الرأس من الإزاحتين، مع الانتباه إلى السالب.
• استخرج p بقسمة المعامل المقابل على 4.
• استخدم إشارة p لتحديد الفتحة، وقيمته المطلقة للمسافة.
• حدد البؤرة والدليل، ثم تحقق من نقطة واحدة بالتعويض ومساواة المسافتين.

عندما تتفق المعادلة مع الرأس والبؤرة والدليل والنقاط المختارة، يصبح الرسم وسيلة للتحقق من الحل. أما الاعتماد على اتجاه فتحة تخميني دون قراءة صورة المعادلة فقد يضع البؤرة أو الدليل في الجهة الخطأ.