يبدأ حل المعادلات التربيعية بالقانون العام والمميز بكتابة المعادلة على الصورة ax² + bx + c = 0، بشرط a ≠ 0. نحسب المميز Δ = b² − 4ac لمعرفة نوع الجذور، ثم نستخدم القانون x = (−b ± √Δ)/(2a) لإيجادها. المميز هو التعبير تحت الجذر، وليس الجذر التربيعي نفسه. [1]
اكتب المعادلة في الصورة القياسية
انقل جميع الحدود إلى طرف واحد، واجعل الطرف الآخر صفرًا، ثم اقرأ معاملات x² و x والحد الثابت. في 2x² − 5x − 3 = 0 تكون a = 2 و b = −5 و c = −3. الإشارة جزء من المعامل، وليست تفصيلًا يمكن إسقاطه.
إذا غاب حد x، كان b = 0. وإذا كان a = 0، فالمعادلة ليست تربيعية ولا يصلح التعويض في قانون يحتوي على 2a في المقام. [1]
ماذا يخبرنا المميز؟
| قيمة المميز | الجذور عندما تكون المعاملات حقيقية | المعنى البياني |
|---|---|---|
| Δ > 0 | جذران حقيقيان مختلفان | تقطع الدالة محور السينات مرتين |
| Δ = 0 | جذر حقيقي واحد مكرر | تلامس الدالة المحور عند نقطة واحدة |
| Δ < 0 | لا جذور حقيقية؛ يوجد جذران عقديان | لا تقطع الدالة محور السينات |
نحسب Δ أولًا، ثم الجذر √Δ عند تطبيق القانون. فلا تكتب Δ = √(b² − 4ac)؛ هذه الصيغة تخلط بين عمليتين مختلفتين. [1]
المثال الأول: جذران مختلفان
لنحل 2x² − 5x − 3 = 0. بالتعويض نحصل على Δ = (−5)² − 4×2×(−3) = 25 + 24 = 49. المميز موجب، فننتظر جذرين حقيقيين مختلفين.
القانون يعطي x = (5 ± 7)/4. باستعمال علامة الجمع يكون x₁ = 12/4 = 3، وباستعمال علامة الطرح يكون x₂ = −2/4 = −1/2.
نراجع الحل الأول في الأصل: 2×3² − 5×3 − 3 = 18 − 15 − 3 = 0. وللثاني: 2×(−1/2)² − 5×(−1/2) − 3 = 0.5 + 2.5 − 3 = 0. إذن الحلّان يحققان المعادلة.
المثال الثاني: جذر مكرر
في x² − 6x + 9 = 0 نجد Δ = 36 − 36 = 0. ومن القانون x = (6 ± 0)/2 = 3. لا تعطي علامتا الجمع والطرح قيمتين مختلفتين هنا.
يمكن مراجعة ذلك بالتحليل: (x − 3)² = 0. ولهذا نقول إن 3 جذر مكرر، وإن عدد القيم الحقيقية المختلفة للحل واحد.
المثال الثالث: ماذا يعني المميز السالب؟
في x² + 4x + 6 = 0 يكون Δ = 16 − 24 = −8. لذلك لا توجد حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية. [1]
لكن قول «لا حلول» دون تحديد المجموعة غير دقيق. في الأعداد العقدية، حيث i² = −1، تصبح الحلول x = −2 ± i√2. إذا كان السؤال المدرسي يطلب الحل في الأعداد الحقيقية فقط، يكفي بيان عدم وجود جذور حقيقية.
أخطاء يسهل منعها
- ضع المعامل السالب بين قوسين عند تربيعه: (−5)² = 25.
- تذكّر أن −b يغيّر إشارة المعامل؛ عندما b = −5 يصبح −b = 5.
- قسّم البسط كله على 2a، لا حد الجذر وحده.
- احسب الحلين عند المميز الموجب ثم اختبرهما في المعادلة الأصلية.
يفيد المميز في توقع طبيعة الجواب قبل إنهاء الحساب؛ فإذا كان موجبًا وأنت حصلت على حل واحد فقط، راجع استعمال علامتي الجمع والطرح.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.