لحساب حجم المخروط الناقص ذي القاعدتين الدائريتين المتوازيتين، نحتاج إلى نصفي قطر القاعدتين والارتفاع العمودي بينهما. إذا رمزنا إلى نصف القطر الأكبر بـ R والأصغر بـ r والارتفاع بـ h، فإن الحجم هو V = (πh/3)(R² + Rr + r²). [1]
ما القياسات التي تدخل في القانون؟
المخروط الناقص ينتج عن قطع مخروط بمستوى موازٍ لقاعدته وإزالة الجزء الواقع قرب الرأس. في المخروط القائم تكون القاعدتان دائرتين لهما مركزان على محور واحد. [1]
- R نصف قطر القاعدة الكبيرة، وليس قطرها الكامل.
- r نصف قطر القاعدة الصغيرة.
- h المسافة العمودية بين مستويي القاعدتين؛ وهي تختلف عن طول الضلع المائل، ويسمى الراسم.
استخدم وحدة طول واحدة قبل التعويض. إذا كانت القياسات بالسنتيمتر، ظهر الحجم بالسنتيمتر المكعب؛ وإذا كانت بالمتر، ظهر بالمتر المكعب.
مثال محلول: قاعدتان وارتفاع معلوم
لدينا مخروط ناقص نصفا قطري قاعدتيه 4 cm و 2 cm، وارتفاعه 9 cm. نحسب أولًا ما داخل القوس: 4² + 4×2 + 2² = 16 + 8 + 4 = 28.
ثم نعوض في القانون: V = (π×9/3)×28 = 84π cm³. وعند التقريب إلى منزلتين عشريتين يصبح الحجم 263.89 cm³. احتفظ بعامل π حتى الخطوة الأخيرة حتى لا تزيد أخطاء التقريب.
إذا أعطتك المسألة قطري القاعدتين 8 و 4 سم بدل نصفي القطرين، اقسم كل قطر على اثنين. إدخال القطر مكان نصف القطر يغيّر ثلاثة حدود في القانون، وليس حدًا واحدًا.
لماذا يظهر الحد الذي يجمع نصفي القطرين؟
يمكن فهم القانون بطرح حجم المخروط الصغير المقطوع من حجم المخروط الكبير. في مثالنا تكون نسبة نصفي القطرين 4/2 = 2، فتكون نسبة ارتفاعي المخروطين الكاملين 2 أيضًا بسبب تشابه المثلثات. [1]
إذا كان ارتفاع الكبير H، فارتفاع الصغير H − 9. ومن H/(H − 9) = 2 نجد H = 18 cm، وارتفاع الصغير 9 سم.
حجم الكبير π×4²×18/3 = 96π cm³، وحجم الصغير π×2²×9/3 = 12π cm³. الفرق 96π − 12π = 84π cm³، وهو جواب المسألة نفسه. هذه الطريقة تشرح القانون، بينما صيغته المباشرة تختصر الحساب.
إذا كانت مساحتا القاعدتين معلومتين
عندما نعرف المساحة الكبرى A₁ والصغرى A₂، نستعمل الصيغة المكافئة V = (h/3)(A₁ + A₂ + √(A₁A₂)). لاحظ أن ما تحت الجذر هو حاصل ضرب المساحتين، لا مجموعهما. [1]
في مثالنا A₁ = 16π و A₂ = 4π بالسنتيمتر المربع. الحد الوسطي √(16π × 4π) = 8π، فتكون النتيجة V = 3×(16π + 4π + 8π) = 84π cm³.
مراجعة سريعة قبل اعتماد النتيجة
- هل حوّلت الأقطار إلى أنصاف أقطار؟
- هل الارتفاع المستخدم عمودي، لا طول الراسم؟
- هل جميع الأطوال بالوحدة نفسها؟
- هل كتبت وحدة مكعبة للحجم ووحدة مربعة للمساحة؟
ولمراجعة معنى الصيغة، إذا أصبح نصف القطر الصغير صفرًا عاد الحد الوسطي ومربعه إلى صفر، فتحصل على حجم المخروط الكامل πR²h/3. هذا فحص مفيد للقانون، وليس قياسًا إضافيًا للمثال. [1]
المصادر ومتابعة القراءة
- Wolfram MathWorld: المخروط الناقص وقوانين حجمه (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.