تحليل العبارة التربيعية: العامل المشترك أولًا ثم اختيار الطريقة

ما شكل العبارة وما المجال؟

العبارة التربيعية في متغير واحد لها صورة ax²+bx+c حيث a≠0. قد يكون b أو c صفرًا. وفي الأمثلة الأولى نبحث عن عوامل ذات معاملات صحيحة؛ سنوضح لاحقًا لماذا يهم هذا الشرط.

التعبير وحده ليس معادلة. تحليل x²+7x+12 يعطينا حاصل ضرب مكافئًا، لكن لا نستنتج x=−3 أو −4 حتى نعرف أن حاصل الضرب يساوي صفرًا.

أخرج العامل المشترك قبل البحث عن زوج

في 3x²+21x+36 يوجد عامل مشترك 3، فنكتب 3(x²+7x+12). نحلل ما داخل الأقواس بعد ذلك: 3(x+3)(x+4). ^[2]

المراجعة بالنشر تعطي 3[x²+4x+3x+12] = 3x²+21x+36. استخراج العامل المشترك يخفف الأعداد ويمنع نسيان جزء من التحليل.

إذا كان معامل x² يساوي 1

في x²+bx+c نبحث عن m و n بحيث m+n=b و mn=c، لنكتب (x+m)(x+n). في x²+7x+12 الزوج 3 و 4 مناسب. ^[1]

أما x²+x−20 فيحتاج حاصل ضرب −20 ومجموع 1؛ العددان 5 و −4 يحققان ذلك، فالتحليل (x+5)(x−4). موجب الثابت لا يعني أن العاملين موجبان دائمًا؛ راجع المجموع والإشارات معًا.

معامل رئيسي غير الواحد: طريقة ac

نحلل 6x²+13x+6. حاصل ضرب a و c هو 36، ونبحث عن عددين حاصل ضربهما 36 ومجموعهما 13، فنختار 9 و 4. نجزئ الحد الأوسط: 6x²+9x+4x+6.

نأخذ العامل المشترك من كل مجموعة: 3x(2x+3)+2(2x+3)، ثم نجمع العامل المشترك الثنائي: (3x+2)(2x+3). ^[2]

راجع النشر: 6x²+9x+4x+6 = 6x²+13x+6. الرقم 36 كان وسيلة لاختيار الزوج، وليس الحد الثابت الجديد في العبارة.

طرق أخرى وحدود المحاولة

فرق المربعين له صورة a²−b²=(a−b)(a+b). مثلًا x²−49=(x−7)(x+7)، ويمكن مراجعتها بالتوزيع وإلغاء الحدين المتعاكسين.

إذا لم تجد زوجًا صحيحًا، لا تفترض أن الحساب خاطئ دائمًا. x²−2 لا يتحلل إلى عاملين خطيين بمعاملات صحيحة، لكنه يتحلل على الأعداد الحقيقية إلى (x−√2)(x+√2). و x²+1 لا يملك عاملين خطيين حقيقيين.

حدد المطلوب ومجال المعاملات، ثم اختر الطريقة وراجع بالضرب. وإذا كان السؤال حل معادلة، أضف بعد التحليل خطوة تجعل كل عامل مساويًا للصفر عندما يساوي حاصل ضربها صفرًا.