قانون التوزيع في الضرب: لماذا نضرب كل حد داخل الأقواس؟

المستطيل يشرح القاعدة

مستطيل ارتفاعه 6 وعرضه 17 له مساحة 6 × 17 = 102. نقسم العرض إلى 10 و 7، فتكون مساحتا الجزأين 60 و 42، ومجموعهما 102. لم نغير المستطيل أو ارتفاعه؛ فقط قسمنا المساحة إلى جزأين.

بالحساب 6(10+7) = 6×10 + 6×7 = 60+42. العامل 6 يؤثر في الجزأين، لذلك كتابة 60+7 تنسى ضرب الجزء الثاني. المثال العددي يوضح القاعدة العامة، لكنه لا يحل محل التحقق منها جبريًا. ^[1]

استخدمها لتسهيل الضرب الذهني

يمكن حساب 8 × 99 على صورة 8(100−1) = 800−8 = 792. اخترنا 100 لأن ضربه سهل، ثم طرحنا ثمانية، لا واحدًا فقط.

وفي 7 × 26 نكتب 7(20+6) = 140+42 = 182. اختيار التقسيم مفيد عندما يجعل الضرب أبسط؛ لا يجب تقسيم كل عدد بالطريقة نفسها.

الطرح والعامل السالب

التوزيع يعمل على الطرح أيضًا: a(b−c) = ab−ac. نفهم الحد المطروح بوصفه جمع سالب c، ثم نطبق القاعدة. ^[1]

لحساب −4(2x−3) نضرب −4 في 2x وفي −3، فنحصل على −8x+12. العلامة الموجبة في 12 نتجت من ضرب سالب بسالب. أما −8x−3 فتترك الحد الثاني دون توزيع.

تحقق بقيمة مستقلة مثل x=5: الطرف الأصلي −4(10−3) = −28، والطرف المبسط −40+12 = −28. هذا الاختبار مفيد لكشف خطأ، لكنه اختبار لقيمة واحدة لا برهان على هوية عامة.

أكثر من حد وعكس التوزيع

نوزع على جميع الحدود: 3(x+2y−5) = 3x+6y−15. لا تتوقف القاعدة بعد حدين؛ كل حد داخل الأقواس يأخذ العامل نفسه.

وبالعكس 5x+35 = 5(x+7). تسمى هذه الخطوة استخراج عامل مشترك، لأننا نكتب مجموعًا على صورة حاصل ضرب. إعادة النشر بالتوزيع تراجع عملية التحليل. ^[2]

ما الذي لا يوزع بهذه الصورة؟

لا نعمم خاصية الضرب على كل عملية. مثلًا (2+3)² = 25 بينما 2²+3² = 13. التربيع يحتاج الحد الأوسط عند نشر مربع مجموع؛ لا يوزع كعامل عددي بسيط.

ابدأ أي توزيع بكتابة ضرب منفصل لكل حد، واحتفظ بالإشارة معه، ثم اجمع الحدود المتشابهة. بعد اكتساب الفكرة يمكنك اختصار الخطوات دون فقد معنى العملية.