اللولب الدائري: هل أقصر مسار على الأسطوانة يحتاج لفة كاملة؟

الخلاصة السريعة

لا تحتاج أقصر المسارات إلى لفة كاملة عمومًا. في مثالنا، اللولب من P=(2,0,0) إلى R=(2,0,2π) طوله2π√5، لكن المسار الرأسي على الأسطوانة طوله2π. يصبح اللولب الأقصر داخل شرط صافي التفاف موجب واحد، لا بين جميع المسارات المسموح بها.

• نختار r=2 وc=1، فتكون x=2cos t وy=2sin t وz=t على x²+y²=4. [1] t زاوية بالراديان، لا زمن. ندرس مسارات متصلة ناعمة على أجزاء من السطح الجانبي الممتد، دون أغطية أو عوائق أو دخول إلى داخل الأسطوانة.
• من0 إلى2π يرتفع اللولب2π، ومقدار مشتقته√5، فيكون طوله2π√5. المسار الرأسي بين الطرفين يبقى على السطح وطوله2π؛ تكرار x وy لا يجعل اللولب مغلقًا، لأن z تغير.
• نتابع الزاوية θ دون إعادتها إلى مجال دورة واحدة، ثم نضع u=2θ. طول المسار يُحسب بالمقدار نفسه في المستوي(u,z). نهاية الزاوية تحدد عدد الالتفافات الصافي؛ العودة في الاتجاه المعاكس لا تعد التفافًا صافيًا إضافيًا.
• في فئة التفاف k من P إلى R، أقصر طول هو Lₖ=2π√(4k²+1). المسار الرأسي يحقق k=0، واللولب المعروض يحقق k=1. الفرد إلى مستوى يثبت الحد الأدنى لكل فئة، ثم نقارن الفئات إذا لم يكن الالتفاف مفروضًا.
• من P إلى Q=(0,2,π/2)، أقصر مسار سطحي ربع لفة، وطولهπ√5/2. فئة k=0 هي الأقصر هنا؛ إضافة دورة أو اختيار الدوران الطويل المعاكس يزيد طول الحد الأدنى. كسور اللفة مسموحة في هذا النموذج.
• القطعة الفراغية PQ طولها√(8+π²/4)، وهو أقل منπ√5/2، لكنها تترك السطح: منتصفها(1,1,π/4) لا يحقق x²+y²=4. أقصر قطعة في الفضاء ليست تلقائيًا مسارًا مسموحًا على سطح الأسطوانة.

حدد السطح والمسارات التي تسمح بها

التمثيل المرجعي للولب الدائري هو x=r cos t وy=r sin t وz=ct؛ نصف القطر r والتقدم المحوري للدورة2πc. [1] نختار r=2 وc=1 بوحدة طول واحدة، فنحصل على p(t)=(2cos t,2sin t,t). الزاوية t بالراديان، ولا نفترض علاقة بينها وبين الزمن.

كل نقطة تحقق x²+y²=4، لذلك تقع على السطح الأسطواني حول محور z. لا نجعل2 ارتفاع الأسطوانة، ولا نضيف قاعدتين؛ نعمل على سطح جانبي ممتد. الأصل O=(0,0,0) داخل الأسطوانة وليس نقطة من هذا السطح.

للمقارنة نسمح بمسارات متصلة ناعمة على أجزاء، لها أطوال محسوبة من المشتقة، وتبقى على السطح طوال الطريق. لا توجد عوائق أو أغطية يمكن اختصار الطريق عبرها. وإذا اشترطنا عدد التفافات، نذكره صراحة بدل استخراجه من شكل الرسم.

هذا سؤال هندسي عن اختيار مسار. لا نحسب مقدار سلك في تصميم مفروض، ولا نصف سن مسمار أو حركة صامولة. معرفة طول مسار معين خطوة حسابية، أما إثبات أنه الأقصر فيحتاج تحديد بقية المسارات المقبولة.

لفة كاملة ليست الأقصر عندما يسمح بالمسار الرأسي

عند t=0 نبدأ من P=(2,0,0). وعند t=2π نصل إلى R=(2,0,2π)، فوق P على الخط نفسه الموازي للمحور. بين الطرفين أكمل اللولب دورة موجبة حول الأسطوانة.

المشتقة هي p′(t)=(−2sin t,2cos t,1). مربع مقدارها4sin²t+4cos²t+1=5، لذلك مقدارها√5. تكامل المقدار من0 إلى2π يعطينا2π√5؛ هذه وحدة طول، وليست عدد اللفات أو الارتفاع.

خذ بدلًا منه المسار الرأسي v(s)=(2,0,2πs) مع0≤s≤1. كل نقطة تحقق x²+y²=4، وطوله2π. وبما أن√5＞1، فهو أقصر من اللولب مع الطرفين نفسيهما. المسار الرأسي مسموح عندما لا يفرض السؤال التفافًا.

ولا يستطيع أي مسار بين هذين الطرفين أن يكون أقصر من المسافة الفراغية المباشرة2π. الخط الرأسي يحقق هذه المسافة ويبقى على السطح؛ لذلك هو الأقصر بين جميع مساراتنا المقبولة، لا مجرد مرشح أصغر وجدناه.

تكرار المركبتين x وy بعد2π لا يعيد النقطة كاملة، لأن z يزيد2π. في هذا المثال z=t متزايد، فلا يغلق اللولب على نفسه. الرسم الرئيسي يقارن لفة زرقاء كاملة بالمسار الرأسي الأخضر بين P وR.

افرد السطح مع متابعة الزاوية دون قطع

يمكن وصف أي مسار على سطحنا بالإحداثيات x=2cosθ وy=2sinθ وz. نتابع θ باستمرار من نقطة البداية؛ لا نعيدها إلى صفر كلما عبرنا2π. مثلًا، الزاويتان0 و2π تصفان الموضع الدائري نفسه، لكنهما تسجلان تتبعين مختلفين حول السطح.

نسمي هذا الاختيار زاوية غير ملفوفة. إذا كان مسار النهاية يعود إلى الاتجاه الدائري نفسه، يكون فرق الزاوية2πk لعدد صحيح k. هذا عدد الالتفافات الصافي: دورة موجبة ثم دورة سالبة تعطي صفرًا صافيًا، مع أنها قد تضيف طولًا للطريق.

ضع u=2θ، حيث u هو الطول حول المحيط بعد الفرد. إذا استعملنا معاملًا s للمسار، تعطينا المشتقات x′=−2sinθθ′ وy′=2cosθθ′. لذلك x′²+y′²+z′²=4θ′²+z′²، ويساوي u′²+z′² لأن u′=2θ′.

إذن تكامل مقدار المشتقة يعطي الطول نفسه في الفضاء وفي مستوي الفرد(u,z). هذه مساواة أطوال لمسار على السطح، وليست إسقاطًا مائلًا للمجسم على الصفحة. يمكن للمسار الملفوف أن يعبر موضع القطع عدة مرات، فنتابع u في نسخ متجاورة من السطح المفرود.

في الشكل الداخلي، نهاية اللفة الموجبة من P تظهر عند(4π,2π)، ونهاية المسار بلا التفاف عند(0,2π). تعود الصورتان إلى R نفسها بعد اللف؛ اختلافهما في الورقة يحفظ قيد الالتفاف الذي لم تحفظه إحداثيات النهاية وحدها.

أثبت الحد الأدنى داخل كل فئة التفاف

في مستوي الفرد، سمّ فرق الإحداثيين A وH. طول أي مسار بين الطرفين لا يقل عن√(A²+H²)، وهو طول القطعة المستقيمة. يمكن إثبات ذلك دون قياس الرسم: خذ متجه الوحدة e=(A,H)/√(A²+H²) في اتجاه الفرق، إذا لم يكن الفرق صفرًا.

عند كل موضع، الضرب النقطي للمشتقة في e لا يزيد عن مقدار المشتقة. نكامل هذه المتباينة على أجزاء المسار؛ تكامل المشتقة يعيد فرق الطرفين، فنحصل على L≥√(A²+H²). إذا A=H=0 يكون الحد صفرًا ولا نحتاج متجه e.

القطعة المستقيمة في الورقة تحقق المساواة. وبعد إعادة لفها على الأسطوانة، تعطينا مسارًا على السطح في فئة الالتفاف المختارة. لذلك الحد قابل للتحقيق، وليس تقديرًا أدنى قد لا يصل إليه أي مسار.

بين P وR تكون H=2π. في فئة k، فرق الزاوية2πk، فتكون A=4πk. بالتعويض يكون أقصر طول Lₖ=2π√(4k²+1). الجدول يعرض خمس فئات؛ الصيغة صالحة لكل k صحيح، بما في ذلك الأعداد خارج الجدول.

عند k=0 يكون الحد2π ويحققه الخط الرأسي. وعند k=1 يكون2π√5 ويحققه اللولب p(t) من0 إلى2π. الفئة k=−1 لها الطول نفسه، لكنها تدور في الاتجاه المعاكس؛ لا تحل طلب التفاف موجب واحد.

إذا قيدنا المسارات بصافي التفاف موجب واحد، فاللولب المعروض هو أقصر مسار في هذه الفئة. إذا رفعنا القيد، نقارن كل k، وتكون0 الأقصر لأن4k² أصغر ما يمكن عند الصفر. لا نحول شرطًا على الصافي إلى شرط يمنع كل رجوع محلي؛ أي رجوع إضافي لا يخفض الحد.

ربع لفة قد يكون الأقصر بين جميع الفئات

نغير نقطة النهاية إلى Q=(0,2,π/2)، التي نحصل عليها عند t=π/2. فرق الاتجاه الدائري من P هوπ/2، لكن النهاية نفسها تقبل فروق زواياπ/2+2πk لكل k صحيح. الارتفاع H=π/2 لا يتغير بين الفئات.

في مستوي الفرد يكون A=π+4πk. لذلك أقصر طول في الفئة هو Lₖ=√((π+4πk)²+π²/4). عند k=0 نحصل علىπ√5/2، ويحققه جزء اللولب من0 إلىπ/2، أي ربع لفة.

للأعداد k≥1 تكون |1+4k|≥5، وللأعداد k≤−1 تكون |1+4k|≥3. القيمة المطلقة عند k=0 هي1 وحدها؛ لذلك أقل مقدار أفقي في الفرد يأتي في الفئة0، ومع الارتفاع نفسه تكون هذه الفئة الأقصر بين جميع الفئات.

مثلًا، الفئة k=−1 تعطي فرق زاوية−3π/2، أي ثلاثة أرباع لفة في الاتجاه المعاكس، وطولًا أدنىπ√37/2. أما k=1 فتعطيπ√101/2. كلاهما أكبر من طول ربع اللفة، رغم الوصول إلى Q نفسها.

لا يوجد في المسألة شرط يفرض عددًا صحيحًا من اللفات. عدد الالتفافات الإضافية k صحيح لأن نهاية الاتجاه محددة، أما المسار الأساسي إلى Q فيكمل ربع لفة. لا نخلط بين العددين ثم نرفض هذا المسار الجزئي.

القطعة الأقصر في الفضاء قد تترك السطح

متجه PQ هو(−2,2,π/2)، فيكون طول القطعة المستقيمة√(8+π²/4). مقارنة المربعين مع طول ربع اللفة تعطينا فرقًا2π²−8، وهو موجب لأنπ＞2. إذن القطعة الفراغية أقصر من المسار السطحي ذي الربع.

لكن منتصف القطعة هو M=(1,1,π/4). عنده x²+y²=2، لا4؛ إنه داخل الأسطوانة لا على سطحها. لذلك القطعة ليست مرشحًا مقبولًا في المسألة التي فرضناها، وإن كانت أقصر طريق في الفضاء بلا هذا القيد.

في حالة P إلى R كان الخط الرأسي على السطح، ولذلك قبلناه. في حالة P إلى Q يقطع الخط المباشر الداخل، ولذلك رفضناه. لا توجد قاعدة تقول إن كل قطعة مباشرة مقبولة أو إن كل قطعة مباشرة مرفوضة؛ نعوض في معادلة السطح.

قبل إعلان أقصر مسار، حدد السطح والطرفين وقيد الالتفاف. تابع الزاوية باستمرار، احسب الحد الأدنى لكل فئة، ثم قارن الفئات المسموحة. وإذا اقترحت اختصارًا فراغيًا، افحص بقاءه على السطح؛ قصره وحده لا يحقق شرط المسألة.