بحث عن كثيرات الحدود يساعدك على قراءة التعبير الجبري قبل إجراء العمليات عليه. ننظر إلى حدود التعبير ومعاملاته وأسسه، ثم نجمع الحدود المتشابهة كي تظهر درجته الفعلية. ويمكن أن يمثل كثير الحدود عددًا ثابتًا أو علاقة خطية أو مساحة مستطيل؛ اسمه لا يعني بالضرورة أن فيه حدودًا كثيرة. [1][2]
متى يكون التعبير كثير حدود؟
في متغير واحد، نستطيع كتابة كثير الحدود مجموعًا محدودًا من حدود على صورة a·x^n، حيث a معامل ثابت و n عدد صحيح غير سالب. لا نحتاج جميع الأسس بين الصفر وأعلى أس؛ قد تغيب حدود يكون معاملها صفرًا. [1][2]
مثلًا 3x⁴−2x+8 كثير حدود، وكذلك x/5+√2؛ الكسر في المعامل 1/5 والجذر في الثابت لا يمنعان ذلك. في المقابل 1/x و √x و x^(−2) ليست كثيرات حدود في x بصورها هذه، لأن المجهول في المقام أو في أس لا يحقق الشرط. [2]
احكم بعد تبسيط صحيح مع الانتباه إلى المجال. فالقسمة على تعبير يحوي المجهول قد تلغي عاملًا، لكنها لا تمحو قيمة مستبعدة من التعبير الأصلي. ليس وجود أقواس أو خط كسر وحده اختبارًا كافيًا للتصنيف.
اقرأ الحد والمعامل والإشارة
خذ P(x)=−4x⁵+3x²−x+9. حدوده أربعة: −4x⁵ و 3x² و −x و 9. المعاملات تشمل الإشارات، ولذلك معامل x هو −1، لا صفر ولا 1 موجب. [1]
المعامل الرئيس −4 لأنه معامل الحد ذي أعلى أس غير صفري، والحد الثابت 9 لأنه لا يتغير بتغير x. أما معاملات x⁴ و x³ فهي صفر، ويمكن كتابتها عند محاذاة الأعمدة دون إضافة حدود غير صفرية جديدة. [2]
عدد الحدود أربع، لكن الدرجة خمس. لا تخلط بين العدّين: 8x⁷ حد واحد درجته 7، و x²+2x+5 ثلاثة حدود درجته 2. يصف «وحيد الحد» و«ثنائي الحدود» و«ثلاثي الحدود» عدد الحدود بعد الجمع. [1]
الدرجة تأتي بعد التبسيط
للمتغير الواحد، الدرجة هي أعلى أس له معامل غير صفري بعد جمع الحدود المتشابهة. مثلًا 2x⁴−5x²+7 + (−2x⁴+4x³+x²−8) يصبح 4x³−4x²−1، فتكون درجته 3 رغم ظهور x⁴ قبل الجمع. [1][2]
الثابت غير الصفري مثل −6 درجته صفر. أما كثير الحدود الصفري فيعامل منفصلًا؛ سنترك درجته غير معرفة هنا، ولا نعطيه درجة صفر كأن له حدًا رئيسًا غير صفري. توجد اصطلاحات أخرى في دروس متقدمة، ولذلك يلزم بيان الاصطلاح المستخدم. [2]
في متغيرين، درجة الحد هي مجموع أسس متغيراته. فالحد 7x²y³ درجته 5، والحد −9x⁴y درجته 5 أيضًا. لذلك كثير الحدود 7x²y³−9x⁴y+2 درجته الكلية 5، ولا نختار 4 لمجرد أنه أكبر أس منفرد ظاهر. [1]
اجمع المتشابه ووزع إشارة الطرح
الحدان 6x² و −2x² متشابهان في الجزء المتغير والأس، فيجمعان إلى 4x². لكن 6x² و −2x لا يختصران إلى حد واحد، ولا نجمع x و y لأنهما رمزان مختلفان. [1]
إذا كان F(x)=2x²−3x+6 و G(x)=x²+4x−5، فإن F+G=3x²+x+1. أما F−G فيحتاج طرح جميع حدود G: 2x²−3x+6−x²−4x+5=x²−7x+11.
نفحص عند x=2: F(2)=8 و G(2)=7، إذن الفرق 1. التعبير الجديد يعطي 4−14+11=1 أيضًا. هذا فحص مفيد للإشارة، لكنه اختبار عند نقطة واحدة وليس برهانًا مستقلًا على هوية بين دالتين.
مثال مساحة يوضح معنى الضرب
أبعاد مستطيل هي x+5 و x+2 من وحدة الطول، مع x موجب في النموذج. المساحة (x+5)(x+2)=x²+7x+10 وحدة مربعة. تمثل الحدود قطعًا فعلية: مربع x²، ومستطيلين 5x و 2x، وركنًا مساحته 5×2=10.
عند x=3، الأبعاد 8 و 5 والمساحة 40. التعويض في كثير الحدود يعطي 9+21+10=40. وعند x=0 تصبح الأبعاد 5 و 2 والمساحة 10؛ تظل العلاقة العددية صحيحة، لكن القطع التي تعتمد على x تنهار إلى مساحة صفرية.
للتعويض بقيمة سالبة في مثال جبري محض، ضع الأقواس حولها قبل القوة. مثلًا Q(x)=x²−4x+1 يعطي Q(−2)=4+8+1=13. السالب داخل التربيع يختلف عن الإشارة الموضوعة خارج مربع. [1]
تدريب مع جواب مفسر
ما درجة 5x³−5x³+2x−7 وعدد حدوده؟ بعد التبسيط يصبح 2x−7، فهو ثنائي حدود درجته 1. وما درجة 3a²b⁴−ab+6؟ أعلى مجموع للأسس هو 6 من الحد الأول.
هل x²/3−√5 كثير حدود؟ نعم؛ معامله الكسري وثابته الجذري مسموحان. وهل x²+1/x كثير حدود في x؟ لا؛ الجزء 1/x يخالف صيغة الأس غير السالب.
عند قراءة أي مثال، افصل أربعة أسئلة: ما حدوده بعد الجمع، وما معاملاته بإشاراتها، وما درجته، وما قيمة التعبير عند المتغير المطلوب؟ لكل سؤال جواب مختلف، وهذا الفصل يجعل العمليات التالية أوضح.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: الحدود ودرجاتها والعمليات والتعويض (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- جامعة يوتا: الصورة القياسية والمعاملات والحدود والاستثناء الصفري (يفتح في نافذة جديدة)math.utah.edu
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.