طرق حل المعادلة التربيعية: كيف تختار التحليل أو الجذر أو القانون العام؟

ابدأ بصورة واضحة للمعادلة

قبل التحليل أو استعمال القانون العام، اجمع الحدود في طرف واجعل الطرف الآخر صفرًا. مثلًا 3x²=5x+2 تصبح 3x²−5x−2=0. المعاملات هنا a=3 و b=−5 و c=−2، فتسجل الإشارات معها. ^[1][2]

أما طريقة عزل المربع فلا تحتاج إبقاء صفر ظاهرًا طوال الحل؛ يمكن الوصول إلى (x−h)²=k مباشرة. الصورة الصفرية مهمة لخاصية حاصل الضرب الصفري، وليست شرطًا أن تكون كل خطوة في جميع الطرق مساواة للصفر. ^[3]

عندما تظهر عوامل بسيطة

في 3x²−5x−2=0 نستطيع كتابة (3x+1)(x−2)=0. للتأكد من التحليل نوسع الضرب: 3x²−6x+x−2=3x²−5x−2. لأن الحاصل صفر، يكفي أن يكون أحد العاملين صفرًا. ^[2]

من 3x+1=0 نحصل على x=−1/3، ومن x−2=0 نحصل على x=2. فحص الثاني يعطي 12−10−2=0، وفحص الأول يعطي 1/3+5/3−2=0.

لا تقسّم على عامل يحوي المجهول قبل النظر إلى احتمال أن يكون صفرًا؛ قد تفقد أحد الحلول. ولا تساوِ كل عامل بالصفر إذا كان حاصل الضرب يساوي عددًا غير صفري؛ عندئذ تحتاج تحويلًا آخر.

إذا كان مربع المجهول معزولًا

في 5(x−2)²=45 نقسم على 5 فنحصل على (x−2)²=9. إذن x−2=±3، فتكون الحلول x=5 و x=−1. كلاهما يعطي مربعًا يساوي 9 ثم حاصلًا يساوي 45. ^[3]

إشارة ± تحفظ الفرعين. أما √9 وحده فيمثل الجذر الرئيسي 3؛ لا يعني ذلك أن معادلة المربع لا تقبل −3 قبل إعادة المتغير. إذا أصبح المربع مساويًا لعدد سالب فلا يوجد حل حقيقي، وإن ساوى صفرًا يتطابق الفرعان.

إكمال المربع خطوة تحفظ المساواة

لحل x²+12x+7=0 ننقل 7: x²+12x=−7. نصف معامل x هو 6، ومربعه 36؛ نضيفه للطرفين، لا لطرف واحد: x²+12x+36=29، أي (x+6)²=29. ^[4]

إذن x=−6±√29؛ بالتقريب الحلول −0.6148 و −11.3852. التحقق الدقيق أوضح من تقريب مبكر: إذا سمينا أحد العددين r=−6±√29، فإن (r+6)²=29، وبالتالي r²+12r+7=0.

إذا كان معامل x² غير 1، نقسم المعادلة كلها على هذا المعامل غير الصفري أولًا. إكمال المربع قابل للتطبيق على كل معادلة تربيعية حقيقية المعاملات، وقد ينتهي إلى حلول غير حقيقية؛ لا يتوقف تطبيقه على زوجية معامل x. ^[4]

في الرسم الداخلي نقسم شكلًا ذا ضلع x+6 إلى مربع x² وشريطين مساحتهما 6x ومربع مساحته 36. النموذج الهندسي يفترض x موجبًا لتمثيل طول؛ أما المتطابقة الجبرية x²+12x+36=(x+6)² فصحيحة لكل x حقيقي.

القانون العام عندما يصعب التحليل

الصيغة هي x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) عند a≠0. في 2x²+7x−3=0 نجد a=2 و b=7 و c=−3، وما تحت الجذر 49+24=73. لذلك x=(−7±√73)/4. ^[1]

الناتجان تقريبًا 0.3860 و −3.8860، والأفضل إبقاء الصيغة الدقيقة في الإجابة. يحدد b²−4ac عدد الحلول الحقيقية: موجب يعطي حلين مختلفين، وصفر يعطي حلًا مكررًا، وسالب لا يعطي حلًا حقيقيًا. الصيغة لا تفترض أن الجذر عدد صحيح. ^[1]

المقام 2a يقسم البسط كله؛ ضع الأقواس حول −b±√(...) عند الإدخال في الحاسبة. ولا تبدل b السالب بسالب آخر مرتين من غير تتبع واضح.

تدريب لاختيار البداية

قد تصل أكثر من طريقة إلى النتيجة نفسها. اختر البداية التي تقلل العمل وتوضح الشروط، ثم عوض كل حل في المعادلة الأصلية. والرسم يساعدك على قراءة عدد التقاطعات وموقعها، لكنه لا يغني عن جواب دقيق إذا كان المطلوب جذورًا كسرية أو جذرية.