تسارع المد: ما دقة تقريب مقلوب مكعب المسافة؟

تسارع المد يقارن الجاذبية عند نقطتين؛ لا يساوي تسارع الجاذبية عند نقطة واحدة. [1]

الخلاصة السريعة

تقريب مقلوب مكعب المسافة يتحسن عندما تصغر المسافة بين نقطتي المقارنة بالنسبة إلى بعد المصدر. [2]

نحسب تسارعات لحظية لثلاث جسيمات اختبار على خط شعاعي حول مصدر نقطي ثابت. النقطة المرجعية تسقط بحرية، والمحاور لا تدور. لا نحسب تشوهًا أو ارتفاع ماء أو تمزقًا. [3][4]
μ=GM>0 بوحدة m³/s²؛ المسافات r−a,r,r+a بالأمتار، مع 0<a<r. التسارع المرجعي g0=μ/r² بوحدة m/s²، ونسبة الفصل ε=a/r بلا وحدة. [4]
مقدارا الفرق النسبي: للقريب N/g0=ε(2−ε)/(1−ε)²، وللبعيد F/g0=ε(2+ε)/(1+ε)². إنهما فرقان عن المرجع، وليس الفرق بين الطرفين. [4]
عند ε≪1: كلا المقدارين يقارب L=2μa/r³=2εg0. مع ثبات μ,a، مضاعفة r تجعل التقريب ثمنًا، والجاذبية المرجعية ربعًا. القانون المكعبي تقريب للفروق المحدودة. النسبي للقريب نحو المصدر، وللبعيد بعكسه؛ الجميع مطلقًا نحوه. [2]
مثالان مؤلفان، بالقسمة على g0: عند ε=0.1، القريب 0.23457 والبعيد 0.17355 والتقريب 0.2؛ وعند ε=0.01: 0.02030,0.01970,0.02 بالترتيب. خطأ التقريب للقريب والبعيد نحو −14.74%,+15.24% ثم −1.50%,+1.50%. E=100(L−X)/X للمقدار الدقيق X>0؛ السالب تقليل، والموجب زيادة. عند a=0، الخطأ النسبي غير معرّف. القيم حسابية. [1][2]

حدد المرجع الذي تطرح تسارعه

نحسب تسارعات لحظية لثلاث جسيمات اختبار على خط شعاعي حول مصدر نقطي ثابت. النقطة المرجعية تسقط بحرية، والمحاور لا تدور. لا نحسب تشوهًا أو ارتفاع ماء أو تمزقًا. [3][4]

الجاذبية المطلقة تتجه نحو المصدر للجميع؛ النسبي للقريب نحوه، وللبعيد بعكسه. المرجع جسيم اختبار، وليس ادعاءً عن مركز كتلة جسم ممتد. [3]

ثبت المسافات والوحدات

μ=GM>0 بوحدة m³/s²؛ المسافات r−a,r,r+a بالأمتار، مع 0<a<r. التسارع المرجعي g0=μ/r² بوحدة m/s²، ونسبة الفصل ε=a/r بلا وحدة. [4]

a فصل كل طرف عن المرجع؛ نهمل تأثير الاختبارات المتبادل وفي المصدر. [4]

اطرح قبل التقريب

مقدارا الفرق النسبي: للقريب N/g0=ε(2−ε)/(1−ε)²، وللبعيد F/g0=ε(2+ε)/(1+ε)². إنهما فرقان عن المرجع، وليس الفرق بين الطرفين. [4]

من قانون نيوتن: N=μ/(r−a)²−g0 وF=g0−μ/(r+a)². نجري الطرح أولًا، ثم نقسم على g0. [4]

قيّد قانون مقلوب المكعب

عند ε≪1: كلا المقدارين يقارب L=2μa/r³=2εg0. مع ثبات μ,a، مضاعفة r تجعل التقريب ثمنًا، والجاذبية المرجعية ربعًا. القانون المكعبي تقريب للفروق المحدودة. النسبي للقريب نحو المصدر، وللبعيد بعكسه؛ الجميع مطلقًا نحوه. [2]

للنسبة الموجبة المحدودة يكون القريب أكبر من التقريب، والبعيد أصغر منه. لا نحول هذا التسارع إلى توقع لمد ساحلي. [1][2]

قارن القيم ثم عرّف الخطأ

مثالان مؤلفان، بالقسمة على g0: عند ε=0.1، القريب 0.23457 والبعيد 0.17355 والتقريب 0.2؛ وعند ε=0.01: 0.02030,0.01970,0.02 بالترتيب. خطأ التقريب للقريب والبعيد نحو −14.74%,+15.24% ثم −1.50%,+1.50%. E=100(L−X)/X للمقدار الدقيق X>0؛ السالب تقليل، والموجب زيادة. عند a=0، الخطأ النسبي غير معرّف. القيم حسابية. [1][2]

الخطأ المئوي E=100(L−X)/X، حيث X المقدار الدقيق الموجب. السالب تقليل، والموجب زيادة. عند a=0 تصفر الفروق، ولا يُعرّف هذا الخطأ النسبي. [1][2]

إشارة خطأ التقريب — أصلي: خطأ القريب أزرق والبعيد أخضر. تبدأ المنحنيات عند `ε=0.001`؛ عند الصفر الخطأ النسبي غير معرّف. ألوان تنظيمية. [5]

المراجع

المد والجزر على السواحل

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.