تكعيبية تشيرنهاوزن: هل كل فرع غير محدود له مقارب مستقيم؟

الخلاصة السريعة

لا. في المثال x=3(t²−3) وy=t(t²−3)، تزداد المسافة إلى كل مستقيم ثابت بلا حد عندما |t|→∞. امتداد الفرعين لا يفرض مقاربًا مستقيمًا. الأصل عقدة بمماسين زاويتهما الحادة60°، ومساحة الحلقة72√3/5 وطولها12√3.

• نأخذ الصيغة الثانية في MathWorld عند المقياس1. [1] المعادلة27y²=x²(x+9)، والمعامل t حقيقي بلا قيمة محدودة مستبعدة. الحلقة بين−√3 و√3، والفرعان خارج هذا المجال؛ الإحداثي الأفقي لا يقل عن−9.
• أي مستقيم ثابت αx+βy+γ=0، مع(α,β)≠(0,0)، يعطي بسط المسافة βt³+3αt²−3βt−9α+γ. إذا β≠0 تتغلب الدرجة الثالثة، وإذا β=0 تتغلب الثانية؛ المسافة لا تؤول إلى صفر في أي طرف.
• عند t=±√3 نحصل على O=(0,0)، بمشتقتين غير صفريتين(±6√3,6). المماسان y=±x/√3، وزاويتهما الحادة60°؛ ليسا متعامدين. عند t=0 تكون A=(−9,0) منتظمة بمماس رأسي x=−9.
• عند t=2 تكون P=(3,2)، والمشتقة(12,9). ميل المماس3/4 ومعادلته3x−4y=1. ميل الشعاع OP هو2/3، فتختلف علاقة النقطة بالأصل عن اتجاه المماس.
• الحلقة الكاملة تتبع−√3≤t≤√3. نصف المحدد xy′−yx′ يساوي3(t²−3)²/2، وتكامله يعطي المساحة72√3/5، نحو24.941532 وحدة مربعة. لا ننسخ دالة المساحة الخاصة بموضع إحداثي آخر.
• مقدار مشتقة الموضع هو3(1+t²)، موجب دائمًا. تكامله على مجال الحلقة يعطي طولها12√3، نحو20.784610 وحدة طول. الرسم الرئيسي يعرض الحلقة كاملة وأجزاء مقطوعة من الفرعين؛ الداخلي يوضح المماسين عند العقدة.

حدد المعادلة والموضع الإحداثي

يعرض المرجع تمثيلًا وسيطيًا x=3a(t²−3) وy=at(t²−3)، ومعادلته27ay²=x²(x+9a). [1] نضع a=1؛ تصبح x=3(t²−3)، وy=t(t²−3)، و27y²=x²(x+9).

كل قيمة حقيقية محدودة من t تعطي إحداثيين محددين؛ لا يوجد مقام قد ينعدم. هذا المعامل عدد بلا وحدة في المثال، وليس زمنًا ولا زاوية قطبية. لا نربط قيمة اللانهاية بنقطة قابلة للتعويض.

يمكن فحص المعادلة مباشرة: y²=t²(t²−3)²، وx²=9(t²−3)²، وx+9=3t². لذلك الطرفان يساويان27t²(t²−3)². هذه المطابقة تشمل قيمتي المعامل اللتين تعطيان الأصل.

وبالعكس، إذا كانت نقطة من المعادلة غير الأصل فإن x≠0، فنضع t=3y/x. المعادلة تعطي t²=(x+9)/3، أي x=3(t²−3)، ثم y=tx/3=t(t²−3). بهذا لا نترك فرعًا حقيقيًا خارج التمثيل.

ينتج x≥−9 من الصيغة الوسيطية. عند x=−9 يكون y=0، وعند x=0 يكون y=0 أيضًا. تبديل t إلى−t يحافظ على x ويعكس y؛ محور التناظر أفقي، لكنه لا يجعل اتجاهي المماس متعامدين تلقائيًا.

عند |t|≤√3 يكون x≤0، فتظهر الحلقة إلى يسار الأصل. خارج هذا المجال يكون x＞0؛ القيم الموجبة تعطي الفرع العلوي والسالبة السفلي. نستخدم مقياس طول واحد للمحورين في الحساب والرسم.

اختبر جميع الخطوط بمعيار المسافة

نقصد بالمقارب المستقيم خطًا ثابتًا تقترب منه نقاط فرع غير محدود، بحيث تؤول المسافة العمودية إلى صفر. نكتب أي خط على الصورة αx+βy+γ=0، مع(α,β)≠(0,0). هذا الوصف يشمل الخطوط الرأسية والأفقية والمائلة.

المسافة من نقطة(x,y) إلى هذا الخط هي |αx+βy+γ|/√(α²+β²). المقام ثابت موجب؛ يجب دراسة البسط بعد التعويض بإحداثيات المنحنى، لا مقارنة الميل في صورة صغيرة فقط.

التعويض يعطي αx+βy+γ=βt³+3αt²−3βt−9α+γ. جميع معاملات الخط ثابتة بينما نرسل t نحو∞ أو−∞. لا يجوز تعديل α أوβ أوγ كلما انتقلنا إلى نقطة جديدة ثم تسمية الناتج مقاربًا واحدًا.

إذا β≠0 فإن معامل t³ غير صفري. قسمة البسط على t³ تترك حدًا يؤول إلى β؛ لذلك تكبر قيمته المطلقة مثل مقدار غير صفري مضروب في |t|³. المسافة إلى الخط تتباعد في الطرفين.

إذا β=0 فشرط الخط يفرض α≠0. يبقى البسط3αt²−9α+γ، ومعامل الدرجة الثانية غير صفري. تتباعد قيمته المطلقة مثل |t|²؛ تشمل هذه الحالة جميع الخطوط الرأسية.

إذن لا يوجد مستقيم ثابت تؤول إليه المسافة في أي فرع. مثلًا البعد إلى y=0 هو |t(t²−3)|، وإلى x=−9 هو3t²؛ كلاهما يكبر. هذان فحصان توضيحيان، أما البرهان العام فهو تقسيم المعاملات إلى الحالتين السابقتين.

لا يكفي امتداد x وy، ولا كون المنحنى جبريًا، لفرض خط مقارب. النتيجة تخص المقاربات المستقيمة بهذا المعيار؛ لا نستنتج منها غياب وصف تقاربي غير خطي، ولا نحسب خط المماس المتغير مقاربًا ثابتًا.

راجع العقدة والزاوية بين مماسيها

يعطي t=−√3 وt=√3 النقطة نفسها O=(0,0). القيمتان محدودتان وصالحتان؛ لا نمحو إحداهما، ولا نعامل الأصل بوصفه نقطة وصلت من حد غير معرف. من x=0 نستعيد t²=3، فهاتان هما الزيارتان الوحيدتان للأصل.

نشتق بالنسبة إلى t: x′=6t وy′=3(t²−1). عند الزيارة السالبة نحصل على(−6√3,6)، وعند الموجبة على(6√3,6). المشتقتان غير صفريتين، فيمر فرع منتظم في كل زيارة.

ميل المماس الأول−1/√3، وميل الثاني1/√3. لأن الخطين يمران بالأصل فمعادلتاهما y=−x/√3 وy=x/√3. حاصل ضرب الميلين−1/3؛ لا يحقق شرط التعامد−1.

مقدار كل متجه مشتقة12، وضربهما الداخلي−72. إذا قارنا المتجهين باتجاهيهما المختارين كانت الزاوية120°؛ أما الزاوية الحادة بين خطي المماس فتستخدم القيمة المطلقة للضرب الداخلي: |−72|/(12×12)=1/2، فتكون60°.

هذا الفرق بين متجهين موجهين وخطين بلا اتجاه يمنع قراءة120° على أنها الزاوية الحادة. الرسم الداخلي يمد كلا المماسين في الجهتين؛ القطاع القريب من المحور الأفقي الموجب هو زاوية60° المقصودة.

عند t=0 نحصل على A=(−9,0)، والمشتقة(0,−3). الخط x=−9 مماس رأسي هناك، والمرور منتظم لأن المشتقة ليست صفرًا. المماس الرأسي لا يجعل النقطة رأسًا مدببًا، كما أن العقدة ليست رأسًا مدببًا ذا مرور واحد.

خارج الأصل، تحدد النسبة3y/x معاملًا وحيدًا. لذلك لا يعاد تتبع نقطة أخرى بقيمتين مختلفتين. العودة إلى O عند طرفي مجال الحلقة هي التي تغلقها، مع بقاء اتجاهي المرور مختلفين.

افحص نقطة ومماسها حسابيًا

نختار t=2. نجد x=3(4−3)=3 وy=2(4−3)=2، أي P=(3,2). في المعادلة الضمنية يعطي الطرف الأيسر27×4=108، والأيمن9×12=108؛ النقطة صحيحة.

في P تصبح المشتقة(12,9)، فيكون الميل9/12=3/4. نكتب y−2=(3/4)(x−3)، ثم نرتبها إلى3x−4y=1. تعويض P يعطي9−8=1، فلا نخلط بين خط صحيح واتجاه صحيح فقط.

لدينا فحص مستقل بالاشتقاق الضمني: من27y²=x²(x+9) نجد54y(dy/dx)=3x²+18x. عند P يصبح البسط81 والمقام108، فالنسبة3/4 نفسها.

أما شعاع الموضع OP فميله2/3. لا تفرض المعادلة توازي الشعاع والمماس، ولا عمودية أحدهما على الآخر. كل ميل هنا ناتج من علاقة مختلفة: نسبة الإحداثيين للشعاع ونسبة المشتقتين للمماس.

عند t=−2 تكون Q=(3,−2)، انعكاس P حول المحور الأفقي. وعند t=1 تكون K=(−6,−2)، وعند t=−1 تكون L=(−6,2). مشتقة y تنعدم في K وL، بينما مشتقة x غير صفرية؛ مماساهما أفقيان.

يجمع الجدول النقاط الصحيحة المختارة. يحتوي الرسم الرئيسي على هذه النقاط والحلقة وأجزاء من الفرعين؛ نهايات الأجزاء عند حدود العرض لا تمثل نقاط نهاية للمنحنى غير المحدود.

احسب مساحة الحلقة بالموضع المختار

نحصر الحلقة في−√3≤t≤√3. يبدأ التتبع من O، يمر بجزئها العلوي ثم A ثم جزئها السفلي، ويعود إلى O. لا نضيف مستقيمًا خارجيًا إلى حدها، ولا نضم الفرعين الممتدين عند x＞0.

نصف المحدد الذي يدخل تكامل المساحة هو (xy′−yx′)/2. بالتعويض نجد xy′−yx′=3(t²−3)²، ومن ثم تكون الدالة3(t²−3)²/2. إنها غير سالبة في التتبع المختار.

لأن الدالة زوجية، تصبح المساحة S=3∫[0,√3](t²−3)²dt. نفك المربع إلى t⁴−6t²+9. دالة أصلية هي t⁵/5−2t³+9t؛ يمكن مراجعة كل حد بالاشتقاق.

عند الحد الأعلى t=√3 تكون t³=3√3 وt⁵=9√3. القيمة داخل القوس هي(9/5−6+9)√3=24√3/5، بينما القيمة عند صفر صفر؛ إذن S=72√3/5، نحو24.941532 وحدة مربعة.

توافق هذه النتيجة المساحة النهائية المرجعية عند a=1. [1] لكن المرجع يعرض موضعًا إحداثيًا آخر أيضًا؛ دالة المحدد فيه ليست بالضرورة الدالة نفسها نقطة بنقطة. نشتق المحدد من إحداثيات مثالنا، ثم نقارن النتيجة النهائية.

الحلقة كلها بين x=−9 وx=0، وبين y=−2 وy=2. المستطيل المحيط بها مساحته36؛ النتيجة24.941532 أصغر منه، وهو فحص معقولية مستقل لا بديل عن التكامل.

التظليل الذهبي في الصورة الرئيسية يملأ الحلقة كاملة. نحسب المساحة من الحد المغلق ومعادلته؛ اللون وسيلة تحديد للمنطقة، ولا نزعم أن عدد البكسلات هو المساحة الهندسية المطلوبة.

احسب طول الحلقة وافصل وحداته

طول المسار على مجال المعامل هو تكامل مقدار مشتقة الموضع. في مثالنا x′²+y′²=36t²+9(t²−1)²=9(1+t²)². لأن1+t² موجب، يكون المقدار3(1+t²).

المقدار موجب لكل t حقيقية، بما فيها الزيارتان إلى الأصل وموضع المماس الرأسي. لذلك لا توجد قيمة محدودة تنعدم عندها مشتقة الموضع؛ التقاطع الذاتي لا يوقف انتظام كل مرور منفرد.

طول الحلقة C هو تكامل3(1+t²) من−√3 إلى√3. الدالة الأصلية3t+t³؛ قيمتها عند الطرف الموجب6√3 وعند السالب−6√3. الفرق12√3، نحو20.784610 وحدة طول.

لا نستعمل قيمة الدالة الأصلية عند الطرف السالب وحدها بوصفها طولًا سالبًا. طول جزء من المسار يحتاج فرق الطرفين بالترتيب، وتحت التكامل مقدار غير سالب. المعامل ليس زمن حركة لكي نسمي هذا المقدار سرعة جسم مقاسة.

من O إلى A على نصف الحلقة يكون الطول6√3؛ النصف الآخر يساويه بالتناظر. ومع ذلك، المساحة72√3/5 ليست مربع الطول ولا نصفه؛ تكاملا الطول والمساحة يستخدمان دالتين ووحدتين مختلفتين.

المشهد الرئيسي يقص الفرعين عند قيم محدودة من |t|، ويعرض الحلقة كاملة. المشهد الداخلي يكبر قرب العقدة لإظهار اتجاهي المماس؛ لا يدل التكبير على جزء إضافي من الحلقة أو على ظهور مقارب.

إذا تغير مقياس الإحداثيين بالتساوي بعامل موجب a فإن الطول يتضاعف بعامل a والمساحة بعامل a². جميع الأرقام الحالية تخص a=1، ويظل برهان غياب المستقيم ثابتًا بعد تغيير المقياس، لأنه لا يلغي الدرجة العليا غير الصفرية.