تنعيم سافيتزكي–غولاي: حفظ المنحنى لا يمنع التجاوز

اشتق أوزان خمس نقاط بدل تخمينها

تحدد sgolayfilt درجة كثير الحدود وطول الإطار، وتتيح أوزانًا للملاءمة. [1] المرجع يصف أخذ قيمة كثير الحدود الملائم عند مركز نافذة التنعيم. [2]

نختار المثال التربيعي وحده: خمس قيم حقيقية منتهية، متساوية التباعد والأوزان، بلا قيم مفقودة. الإحداثيات المحلية j=[−2,−1,0,1,2] حول نقطة نريد تنعيمها؛ لا تحمل وحدة زمن مادية هنا. نستخدم النوافذ الداخلية الكاملة فقط.

نلائم p(j)=a+bj+cj²، ونقلل S=Σⱼ(xⱼ−a−bj−cj²)². قيمة المنحنى الملائم عند المركز j=0 هي a، وهي الناتج الذي سنحسبه. لا نطرح المنحنى من البيانات في هذه العملية.

تجمع الإحداثيات إلى Σj=Σj³=0 وΣj²=10 وΣj⁴=34. ضع S0=Σxⱼ وS1=Σjxⱼ وS2=Σj²xⱼ. معادلات المربعات الصغرى تصبح 5a+10c=S0 و10b=S1 و10a+34c=S2.

نحلها فنجد a=(17S0−5S2)/35 وb=S1/10 وc=(S2−2S0)/14. بإدخال مجموعي S0 وS2 في a، يظهر وزن النقطة j: wⱼ=(17−5j²)/35. بترتيب النقاط من −2 إلى 2 تصبح الأوزان [−3,12,17,12,−3]/35.

للتأكد من الحد الأدنى، غيّر المعاملات بمقادير da وdb وdc. تختفي الحدود المختلطة مع البواقي بسبب معادلات الملاءمة، وتبقى زيادة Σ(da+dbj+dcj²)²=5da²+20da·dc+10db²+34dc².

نكتب الزيادة 5(da+2dc)²+10db²+14dc². إنها غير سالبة، ولا تساوي صفرًا إلا عند da=db=dc=0؛ إذن الحل وحيد وأدنى لهذا المثال. الأوزان السالبة هنا لا تعني أن أوزان إدخال هدف المربعات الصغرى كانت سالبة: تلك الأوزان متساوية وموجبة.

لماذا يحفظ المنحنى التربيعي؟

احسب لحظات الأوزان: Σw=1 وΣjw=0 وΣj²w=0. إذا كانت القيم xⱼ=A+Bj+Cj²، يكون الناتج Σwⱼxⱼ=A. هذه هوية لكل معاملات A وB وC، وليست نجاحًا في ثلاث قيم اختبرناها فقط.

عند تحريك النافذة على سجل تربيعي في إحداثيات منتظمة، يمكن كتابة القيم حول كل مركز بالصورة نفسها، لذا يحفظ الحساب الدقيق قيمة ذلك السجل في كل مركز داخلي كامل. الشرط محلي: لا نفترض أن كل سجل حقيقي كثير حدود تربيعي.

اختر xⱼ=10−j². القيم هي [6,9,10,9,6]. ناتجنا (−18+108+170+108−18)/35=350/35=10، فيحفظ القمة. المتوسط الخماسي يساوي 40/5=8؛ جمع j² وتقسيمه على 5 يفسران نقصان 2 من المركز.

الآن أضف 7 إلى قيمة المركز فقط، فتصبح القيم [6,9,17,9,6]. يتغير الناتج بمقدار 7×17/35=17/5، فيصبح 10+17/5=67/5=13.4. الوزن المركزي غير صفري، فلا يمحو المرشح هذه الإضافة.

يمكن أن تكون الإضافة اضطرابًا أو معلومة نريد حفظها؛ المثال لا يحدد سببها. والأخطاء التي تأخذ صورة A+Bj+Cj² تنتقل قيمتها المركزية أيضًا، لأنها تحقق الهوية نفسها. حفظ كثير الحدود ليس تمييزًا آليًا بين الإشارة والخطأ.

الأوزان السالبة تسمح بالتجاوز

مدى القيم الداخلة لا يحد الناتج هنا كما يحد متوسطًا بأوزان غير سالبة مجموعها 1. وزن الطرفين −3/35 يسمح بالخروج عن المدى. نعرض خطوة افتراضية: x[n]=0 عندما n<0، وx[n]=1 عندما n≥0.

نستخدم y[n]=Σⱼwⱼx[n+j]. عند n=−2 تدخل القيمة 1 في الطرف j=2 فقط، فيكون الناتج −3/35. وعند n=−1 تدخل في j=1,2، فيصبح الناتج (12−3)/35=9/35.

عند n=0 يصبح الناتج (17+12−3)/35=26/35. وعند n=1 تدخل أربع قيم من 1، فيكون الناتج (12+17+12−3)/35=38/35. من n=2 فصاعدًا تكون النافذة كلها 1، فيعود الناتج إلى 1؛ وقبل n=−2 تكون كلها صفرًا.

النقص −3/35 والزيادة 3/35 فوق 1 ناتجان عن المعادلة، لا عن قيم سالبة أو أكبر من 1 في المدخل. لا نسمي هذا خطأً في الضرب؛ لكنه سلوك يلزم فحص ملاءمته لغرضنا.

لا ينتج متوسط خماسي بأوزان 1/5 خروجًا عن المجال [0,1] في هذه الخطوة، لكنه يخفض قمة المثال التربيعي إلى 8. المقارنة توضح مفاضلة محددة: حفظ الانحناء في نموذج مختار لا يلزم منه حفظ مدى كل سجل.

الضوضاء والتوقيت والدرجة شروط مختلفة

يشير المرجع إلى معاملة الأطراف بصورة مختلفة عن نافذة مركزية، وإلى غياب التنعيم عندما تكون الدرجة أقل من طول الإطار بواحد. [1]

نفترض أخطاء مستقلة ηⱼ، متوسط كل منها صفر وتباينه σ². بما أن الناتج خطي، يكون خطؤه Σwⱼηⱼ وتباينه σ²Σwⱼ². مجموع مربعات الأوزان (9+144+289+144+9)/1225=17/35؛ إذن التباين 17σ²/35.

للمتوسط الخماسي، تباين الخطأ تحت الافتراضات نفسها σ²/5. نسبة تباين مثالنا إلى تباينه 17/7، وهي أكبر من 1. مع ذلك يحفظ مثالنا قمة المنحنى التربيعي، بينما يغيرها المتوسط. لم نقارن دقة قياس حقيقي أو نثبت أفضلية عامة لأي منهما.

إذا افترضنا بدلًا من ذلك حدًا مطلقًا |ηⱼ|≤ε، حيث ε≥0، نحصل على |Σwⱼηⱼ|≤εΣ|wⱼ|=47ε/35. ويمكن بلوغ هذا الحد باختيار الأخطاء [−ε,ε,ε,ε,−ε]؛ لذلك لا نستبدله بالحد ε الخاص بمتوسط غير سالب.

النافذة المركزية عند n تتطلب x[n+1] وx[n+2]. في المعالجة المتتابعة ننتظر وصول الثانية، فيتأخر إصدار نتيجة المركز عينتين. يجب حفظ إحداثي المركز مع الناتج؛ لا ننسبه إلى آخر عينة وصلت. قرب طرف سجل منتهٍ لا تتوافر النافذة نفسها؛ لم نحسب مرشح أطراف أو نفترض أصفارًا خارج السجل.

وأخيرًا، إذا سمحنا بدرجة 4 عند خمس إحداثيات مختلفة، يوجد كثير حدود يمر بالنقاط الخمس تمامًا. الفرق بين اثنين يمران بها سيكون درجته على الأكثر 4 وله خمس جذور مختلفة، فلا يبقى فرق غير صفري. لذلك تعيد الملاءمة جميع القيم في الحساب الدقيق، بدل تنعيمها.

كل الأعداد والأوزان مشتقة مستقلًا من مثالنا. لم نشغّل MATLAB أو نقس إشارة فعلية. اختيار درجة أخرى أو تباعد غير منتظم أو أوزان ملاءمة مختلفة يحتاج حسابًا جديدًا؛ لا ننقل إليه معاملات الخمس نقاط تلقائيًا.