حاصل الضرب للمجموعات غير المنتهية: الزوج والمتتابعة

الخلاصة السريعة

عنصر حاصل الضرب الديكارتي A × B زوج مرتب (a,b)، حيث a من A و b من B. وفي منتج عائلة مفهرسة من المجموعات، يحدد العنصر قيمة من كل عامل عند فهرسه. ^[1][2]

• في A × B نحفظ ترتيب الإحداثيين؛ الأول من A والثاني من B. حاصل الضرب يضم الأزواج الممكنة، بينما الاتحاد يضم عناصر المجموعتين منفردة. ^[1] الرمز × هنا لا يطلب ضرب a في b عدديًا.
• في المثال A = {−2,3} و B = {0,4,7} نحصل على ستة أزواج؛ عكس العاملين يعكس موضعي العناصر.
• في ℕ₀ × ℕ₀، الزوج (2,3) مقبول و(2,3.5) غير مقبول؛ الرسم يعرض نافذة من نقاط لا مساحة متصلة.
• في {0,1}^ℕ يختار كل عنصر قيمة لكل موضع؛ إنه متتابعة ثنائية كاملة. ^[2]
• ثماني بدايات بطول ثلاثة لا تعني ثماني متتابعات كاملة؛ لكل بداية إكمالات مختلفة.
• إذا كان أحد العاملين فارغًا، فلا نستطيع ملء أحد موضعي الزوج؛ يكون المنتج فارغًا وفق التعريف. ^[1] وفي مثالنا الاتحاد هو {−2,0,3,4,7}: خمسة أعداد، وليس قائمة الأزواج الستة.

عاملان وترتيب داخل الزوج

في A × B نحفظ ترتيب الإحداثيين؛ الأول من A والثاني من B. حاصل الضرب يضم الأزواج الممكنة، بينما الاتحاد يضم عناصر المجموعتين منفردة. ^[1] الرمز × هنا لا يطلب ضرب a في b عدديًا.

نختار A = {−2,3} و B = {0,4,7}. المنتج ستة أزواج: (−2,0),(−2,4),(−2,7),(3,0),(3,4),(3,7). لكل اختيار من A ثلاثة اختيارات من B؛ العدد 2 × 3 = 6.

في B × A تظهر الأزواج المعكوسة، ومنها (4,−2)؛ هذا الزوج غير موجود في A × B المختار، لأن 4 ليس عنصرًا من A. لا نحكم على التساوي من عدد الأزواج وحده.

إذا كان أحد العاملين فارغًا، فلا نستطيع ملء أحد موضعي الزوج؛ يكون المنتج فارغًا وفق التعريف. ^[1] وفي مثالنا الاتحاد هو {−2,0,3,4,7}: خمسة أعداد، وليس قائمة الأزواج الستة.

عاملان غير منتهيين: شبكة من الأزواج

نستخدم ℕ₀ = {0,1,2,…} تعريفًا للرمز في هذا المقال. عنصر ℕ₀ × ℕ₀ زوج مثل (2,3)، مهما امتدت الخيارات في كل عامل. عدد العوامل هنا اثنان؛ لا يتحول الزوج إلى متتابعة طويلة.

في النافذة المرسومة اخترنا الإحداثي الأول من 0 إلى 4 والثاني من 0 إلى 3. توجد 5 × 4 = 20 نقطة ظاهرة، لكن المنتج الأصلي لا ينتهي عند حافة النافذة.

النقطة (2,3) ضمن المنتج؛ (2,3.5) ليست ضمنه لأن 3.5 ليس عددًا من ℕ₀. لهذا لا نلون كل المساحة بين نقاط الشبكة على أنها عناصر المنتج.

لو جعلنا كل عامل مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ، فسنصبح أمام سؤال آخر. عند القراءة، اكتب اسم كل عامل قبل وصف الشكل؛ ظهور محورين في رسم لا يحدد وحده القيم المسموحة.

عدد غير منته من العوامل: متتابعة كاملة

نأخذ عاملًا {0,1} عند كل موضع n = 1,2,3,…. العنصر في هذا المنتج دالة f تختار 0 أو 1 لكل n؛ يمكن عرضها كمتتابعة ثنائية كاملة. ^[2] هنا تغير عدد العوامل، لا طول اسم الزوج فقط.

اخترنا f(n) = 0 للموضع الفردي و f(n) = 1 للزوجي. يبدأ العرض 0,1,0,1,0,1,…، والقاعدة تحدد كل المواضع التالية. عنصر آخر هو المتتابعة التي تساوي 0 في كل موضع.

للمواضع الثلاثة الأولى 2³ = 8 بدايات ممكنة. البداية 0,1,0 لا تحدد عنصرًا كاملًا: يمكن إكمالها بالأصفار دائمًا بعد الموضع الثالث، أو بالآحاد دائمًا؛ الإكمالان مختلفان رغم البداية المشتركة.

لا تخلط بين متتابعة كاملة، وقائمة محدودة، واتحاد قيمها. وكتابة مثالين من المنتج لا تحصي عناصره كلها؛ يكفي هنا فهم ما يجعل العنصر مقبولًا: قيمة مسموحة عند كل فهرس.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: رموز الرياضيات ومعانيها: كيف تقرأ العلاقات والمجموعات؟.