حاصل ضرب طبيعيين مستقلين: هل يبقى طبيعيًا؟

حاصل ضرب طبيعيين مستقلين ليس طبيعيًا في النموذج التالي. [1][4]

الخلاصة السريعة

لا، في هذا النموذج. [1][4]

X,Y~N(0,1) مستقلان؛ متوسط كل منهما 0 وتباينه 1. Z=XY بلا وحدة؛ نضرب قيمتين مستقلتين. [2][3]
للاستقلال والعزوم المنتهية، E[(XY)^k]=E[X^k]E[Y^k]. لـk=1,2,4، E[X^k]=0,1,3 بالترتيب. E توقع؛ العزم الرابع E[X⁴]. [1][4]
إذن E[Z]=0,E[Z²]=1؛ التباين Var(Z)=E[Z²]−E[Z]²=1. يطابقان الطبيعي المعياري. [1][4]
لكن E[Z⁴]=3×3=9≠3، عزم الطبيعي N(0,1) الرابع؛ لذلك Z غير طبيعي. [1][2][4]
لتحجيم مؤلف cZ، c=0.5,1,2، التباينات 0.25,1,4؛ العزوم الرابعة 0.5625,9,144 مقابل 0.1875,3,48 لطبيعي بالمتوسط والتباين نفسيهما. [1][2][4]
مع Y=X الهامشان طبيعيان دون استقلال؛ X² بمتوسط 1 وتباين 3−1=2. فصل التوقعات لا يصح. [1][3][4]

X,Y~N(0,1) مستقلان؛ متوسط كل منهما 0 وتباينه 1. Z=XY بلا وحدة؛ نضرب قيمتين مستقلتين. [2][3]

للاستقلال والعزوم المنتهية، E[(XY)^k]=E[X^k]E[Y^k]. لـk=1,2,4، E[X^k]=0,1,3 بالترتيب. E توقع؛ العزم الرابع E[X⁴]. [1][4]

إذن E[Z]=0,E[Z²]=1؛ التباين Var(Z)=E[Z²]−E[Z]²=1. يطابقان الطبيعي المعياري. [1][4]

لكن E[Z⁴]=3×3=9≠3، عزم الطبيعي N(0,1) الرابع؛ لذلك Z غير طبيعي. [1][2][4]

لتحجيم مؤلف cZ، c=0.5,1,2، التباينات 0.25,1,4؛ العزوم الرابعة 0.5625,9,144 مقابل 0.1875,3,48 لطبيعي بالمتوسط والتباين نفسيهما. [1][2][4]

مع Y=X الهامشان طبيعيان دون استقلال؛ X² بمتوسط 1 وتباين 3−1=2. فصل التوقعات لا يصح. [1][3][4]

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.