حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل: اشتقاق بطريقة الأقراص

الخلاصة السريعة

نحسب حجم المخروط الدوراني القائم بتكامل مساحات مقاطعه الدائرية على طول ارتفاعه. فإذا كان نصف قطر القاعدة r والارتفاع h، كانت النتيجة V = πr²h/3.^[1][2]

• في البناء المختار، تبدأ المسافة x من الرأس، وتنتهي عند القاعدة x=h.
• بالتشابه، نصف قطر المقطع عند x هو ρ(x)=rx/h؛ وعند الرأس صفر وعند القاعدة r.
• مساحة القرص A(x)=π[ρ(x)]²؛ يجب تربيع نصف القطر داخل التكامل.^[1]
• في مثالنا r=7 سم و h=15 سم، الحجم 245π ≈ 769.690 سم³.
• الأقراص مقاطع ممتلئة؛ وعند وجود تجويف نطرح مساحة الدائرة الداخلية لنحصل على طريقة الفلكات.^[1]

اختيار المحور ودالة نصف قطر المقطع

تستعمل طريقة الأقراص لمجسم ينتج من دوران منطقة تحت دالة مستمرة غير سالبة حول محور السينات. حجمه V = ∫ₐᵇ π[f(x)]² dx.^[1]

نضع الرأس عند (0,0)، والقاعدة عند x=h، وندير المثلث تحت y=rx/h حول محور السينات.

بالتشابه ρ(x)=rx/h؛ إذن ρ(0)=0 و ρ(h)=r. لو بدأنا من القاعدة لبدأ نصف القطر بـ r.

عندما يصبح x نصف h، يصبح نصف القطر r/2. في المثال r=7 و h=15، عند x=7.5 يكون نصف القطر 3.5 سم؛ وعند x=3 يكون 1.4 سم.

من مساحة القرص إلى قانون الحجم

مساحة المقطع A(x)=πr²x²/h². نجمع مساهمات الشرائح ذات السماكة الصغيرة، ويعبر التكامل المحدد عن الحجم.^[1]

حدا التكامل هما 0 و h؛ لذا V=(πr²/h²)∫₀ʰ x² dx. نتحقق باشتقاق x³/3 أن مشتقته x².

نطرح قيمة الدالة الأصلية عند الحد الأدنى من الأعلى: ^[1] [x³/3]₀ʰ = h³/3−0.

بالتعويض V=(πr²/h²)(h³/3)=πr²h/3. يأتي الثلث من تكامل x²؛ وتتوافق الأبعاد: مساحة في طول.

لأن المقاطع هنا تصل إلى المحور، فهي أقراص دون ثقوب. إذا وجد نصف قطر داخلي a(x)، أصبحت مساحة المقطع π(R(x)²−a(x)²)؛ وهذه طريقة الفلكات.^[1]

مثال محلول: نصف القطر 7 والارتفاع 15

نستخدم السنتيمتر لجميع الأطوال. نصف قطر المقطع ρ(x)=7x/15، ومساحته A(x)=49πx²/225. عند x=0 تكون المساحة 0، وعند x=7.5 تكون 12.25π سم²، وعند x=15 تكون 49π سم².

الحجم المطلوب V = (49π/225)∫₀¹⁵ x² dx = (49π/225)[x³/3]₀¹⁵. نحسب الحد الأعلى: 15³/3 = 3375/3 = 1125، والأدنى صفر.

إذن V = (49π/225) × 1125 = 245π سم³. باستعمال قيمة دقيقة للثابت ثم تقريب العرض إلى ثلاثة أرقام بعد الفاصلة، نحصل على 769.690 سم³.

للتحقق الهندسي، حجم أسطوانة لها نصف القطر والارتفاع نفسيهما يساوي 735π سم³، وحجم المخروط ثلثه.^[2] وتُظهر دالة مساحة المقطع نموًا تربيعيًا؛ فمنتصف الارتفاع يعطي ربع مساحة القاعدة، لا نصفها.

قبل اعتماد الحل، نراجع موضع الأصل، ومحور الدوران، وحدود التكامل، وتربيع نصف قطر المقطع. وضع دالة تبدأ بالصفر مع وصف أصل عند القاعدة يجعل البناء غير متسق، حتى لو خرج الرقم النهائي مصادفة صحيحًا.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: التكامل المحدود: المساحة الموقعة وطريقة الحساب.