حساب الكثافة المتوسطة لجسم من مادتين: اجمع الكتل والأحجام

ابدأ بتحديد ما يشمله الجسم والحجم

حساب الكثافة المتوسطة لجسم من مادتين يبدأ بجمع ما يخص الجسم كله، ثم القسمة. لكن الخطأ الشائع هو جمع كثافتي الجزأين والقسمة على اثنين دون معرفة حجميهما. سنشتق العلاقة المناسبة ونعمل على أمثلة من تأليفنا، ثم نفرق بين تساوي الحجوم وتساوي الكتل، ونراجع حجم الفراغ والحجم النهائي المعطى. جميع الكثافات والأجزاء هنا افتراضية للتعليم؛ لا ننسب الأرقام إلى معدن أو سائل حقيقي، ولا نعرض قياسات أجريناها في مختبر.

الكثافة المتوسطة هي الكتلة الكلية مقسومة على الحجم الذي تحدده للجسم: ρ = m/V. قد تتفاوت الكثافة داخل الجسم، فلا يمثل المتوسط بالضرورة كثافة كل جزء منه. [1]

في أمثلتنا الأساسية نتعامل مع جزأين متجانسين، كثافة كل منهما معروفة عند الشروط المفترضة، ونجمع كتلتيهما وحجميهما كما يعطي السؤال. لا يدخل غلاف إضافي أو لاصق أو فراغ في الحساب الأساسي. إذا كان المطلوب جسمًا له غلاف، فإما أن تعرف كتلة الغلاف وحجمه وتضيفهما، أو أن تعرف الكتلة والحجم الكليين مباشرة. تحديد حدود الجسم يمنع استعمال كتلة تشمل شيئًا وحجم يستبعده من غير قصد.

اكتب فوق الحل جملة عن المقام: «الحجم هنا مجموع حجمي المادتين». هذه الجملة قصيرة، لكنها توضح لماذا ستستعمل الجمع. وإذا قال السؤال إن الحجم النهائي مقيس ومعطى، فاكتب ذلك بدلًا منها. يمكن أن يكون القانون العام صحيحًا والحساب العددي مرتبًا، ثم تكون النتيجة غير مناسبة لأنك اخترت حجمًا آخر. سنعود إلى هذا الفرق في أمثلة الفراغ والحجم النهائي بعد إتقان المثال الأساسي.

مثال كامل: عشرون غرامًا مع تسعين غرامًا

نعرّف الجزء أ بكتلة عشرين غرامًا وحجم عشرة سنتيمترات مكعبة، فتكون كثافته 20/10 = 2 g/cm³. ونعرّف الجزء ب بكتلة تسعين غرامًا وحجم ثلاثين سنتيمترًا مكعبًا، فتكون كثافته 90/30 = 3 g/cm³. لا تعتمد على لون الجزء أو اسمه لتستخرج هذه القيم؛ اللون في الرسم وسيلة للتمييز، وليس تعريفًا لتركيب مادة حقيقية أو جدولًا لخصائصها.

الكتلة الكلية هي 20 + 90 = 110 g، والحجم المعتمد في هذا المثال هو 10 + 30 = 40 cm³. لذلك ρ̄ = 110/40 = 2.75 g/cm³. انتقلنا من بيانات كل جزء إلى بيانات الكل قبل القسمة. أما (2 + 3)/2 = 2.5 فيعامل الكثافتين بالتأثير نفسه، رغم أن الجزء ب يحتل ثلاثة أرباع الحجم في نموذجنا، لا نصفه.

يمكن التحقق من النتيجة بطريقة معاكسة: كثافة متوسطة مقدارها 2.75 g/cm³ مضروبة في حجم أربعين سنتيمترًا مكعبًا تعطي مئة وعشرة غرامات، وهي الكتلة التي جمعناها. لو استعملت المتوسط البسيط 2.5 لكان حاصل ضربه في الأربعين مئة غرام فقط؛ أي أنه لا يعيد الكتلة الكلية المعطاة. هذا فحص حسابي للمعطيات المحددة، وليس تجربة تقيس خواص مادة جديدة.

اشتقاق المتوسط الموزون بالحجم

لكل جزء في النموذج نكتب m₁ = ρ₁V₁ وm₂ = ρ₂V₂. نجمع الكتلتين، ثم نقسم على الحجم الكلي الذي افترضنا أنه V₁ + V₂. نحصل على ρ̄ = (ρ₁V₁ + ρ₂V₂)/(V₁ + V₂). ليست هناك عملية تجميع للكثافات وحدها في البسط؛ ضرب كل كثافة في حجمها هو ما أعادها إلى كتلة يمكن جمعها مع كتلة الجزء الآخر.

ويمكن كتابة النتيجة على صورة حصتين: ρ̄ = ρ₁[V₁/(V₁+V₂)] + ρ₂[V₂/(V₁+V₂)]. مجموع الحصتين واحد، وكل حصة موجبة عندما يكون حجما الجزأين موجبين. في المثال الأول حصة أ ربع وحصة ب ثلاثة أرباع، فتكون 2×0.25 + 3×0.75 = 2.75. المقصود بالوزن في عبارة المتوسط الموزون هنا معامل نسبي، لا قوة الوزن الفيزيائية بوحدة نيوتن.

لهذا يقع المتوسط بين الكثافتين عند تحقق هذه الشروط. إنه يجمع تأثيرين بمعاملين موجبين مجموعهما واحد، فلا يستطيع تجاوز أكبرهما أو النزول دون أصغرهما. ومع كثافتين مختلفتين وجزأين حجماهما موجبان، تكون النتيجة بينهما بدقة. إذا اختفى أحد الجزأين تمامًا، بقيت كثافة الجزء الآخر. هذا استنتاج جبري من العلاقة المشروطة، فلا تستخدمه تلقائيًا عندما يختلف الحجم في المقام عن مجموع حجمي الجزأين.

متى يصح جمع الكثافتين والقسمة على اثنين؟

إذا كان V₁ = V₂ = V وكان الحجم الكلي 2V، تصبح الصيغة ρ̄ = (ρ₁V + ρ₂V)/(2V) = (ρ₁ + ρ₂)/2. اختزلنا الحجم المشترك لأنه غير صفري، ولم نقرر أن كل جسم من مادتين ينطبق عليه الشرط. في مثال كثافتيه اثنان وثلاثة وحجميه عشرون وعشرون سنتيمترًا مكعبًا، تكون الكتلتان أربعين وستين غرامًا، ويصبح المتوسط 100/40 = 2.5 g/cm³.

ولمعرفة الشرط بصورة أدق، ساوِ المتوسط الموزون بالمتوسط البسيط، ثم اضرب في المقامات غير الصفرية ورتب الحدود. ينتج الشرط (ρ₁ − ρ₂)(V₁ − V₂) = 0. إذن تتحقق المساواة إذا تساوى الحجمان أو تساوت الكثافتان. عندما تكون الكثافتان مختلفتين، لا يبقى إلا شرط تساوي الحجمين في هذا النموذج. أما إذا كانت كثافتهما واحدة أصلًا، فأي توزيع للحجم يعيد تلك الكثافة المشتركة.

قارن توزيعًا ثالثًا للمادتين نفسهما: ثلاثون سنتيمترًا مكعبًا من أ وعشرة من ب. الكتلتان ستون وثلاثون، فالكتلة تسعون والحجم أربعون، والمتوسط 2.25 g/cm³. بقيت الكثافتان اثنين وثلاثة، لكننا انتقلنا من 2.75 إلى 2.25 بتغيير حصة الحجم. لذلك لا يكفي حفظ أسماء مادتين أو كثافتيهما لتعرف متوسط الجسم؛ تحتاج إلى مقدار مساهمة كل منهما في الحجم المعتمد.

تساوي الكتلتين يعطي نتيجة مختلفة

خذ ستين غرامًا من أ وستين غرامًا من ب، مع بقاء كثافتيهما اثنين وثلاثة غرامات لكل سنتيمتر مكعب. حجم أ هو 60/2 = 30 cm³، وحجم ب هو 60/3 = 20 cm³. نجمع الكتلتين إلى مئة وعشرين والحجمين إلى خمسين، فيكون المتوسط 120/50 = 2.4 g/cm³. تساوت الكتلتان، لكن حجميهما اختلفا؛ لهذا لم نصل إلى المتوسط الحسابي 2.5.

وإذا رمزنا للكتلة المشتركة الموجبة بالرمز m، فالحجم الكلي m/ρ₁ + m/ρ₂. ومن ثم ρ̄ = 2m/(m/ρ₁ + m/ρ₂) = 2ρ₁ρ₂/(ρ₁ + ρ₂) للكثافات الموجبة. هذه الصيغة هي المتوسط التوافقي لكثافتين، لكنها في درسنا نتيجة اشتقاق عند تساوي الكتل وتحقق جمع الحجوم. لا تستعمل اسم المتوسط وحده بدل كتابة الشروط التي جعلته مناسبًا لهذا الحساب.

ويظهر الفرق من السؤال قبل الأرقام: «حجمان متساويان» يوجهك إلى حصتين حجميتين متساويتين، و«كتلتان متساويتان» يوجهك إلى حساب حجم كل مادة من كثافتها. ضع خطًا تحت الكلمة التي تحدد ما تساوى. إذا قدم واضع التمرين الكتلتين والحجمين معًا، فلا تفترض تساوي أحدهما من تشابه رسم القطعتين؛ استعمل المعطيات المكتوبة، ثم قارن ما حسبته بالشكل بوصفه توضيحًا لا أداة قياس.

الحجوم مجهولة والكتل معروفة: ابدأ بكل جزء

في مثال جديد، لدينا أربعون غرامًا من مادة كثافتها اثنان غرام لكل سنتيمتر مكعب، وتسعون غرامًا من مادة كثافتها ثلاثة. نجد حجم الجزء الأول 40/2 = 20 cm³، وحجم الثاني 90/3 = 30 cm³. إذا كان الحجم الكلي مجموعهما، فالمتوسط (40 + 90)/(20 + 30) = 2.6 g/cm³. لم نضرب الكثافة في الكتلة؛ استخدمنا القسمة لتحويل معلومات كل جزء إلى حجمه.

والصيغة العامة للمعطيات الكتلية هنا هي ρ̄ = (m₁ + m₂)/(m₁/ρ₁ + m₂/ρ₂). لاحظ اختلافها عن متوسط موزون بحصص الكتل على الصورة (m₁ρ₁ + m₂ρ₂)/(m₁ + m₂)؛ هذه الصورة الأخيرة لا تنتج من مجموع الكتلة على مجموع الحجم في النموذج الذي حللناه. يمكن كشف الخطأ بالتعويض في المثال والتحقق مما إذا كان الناتج يعيد الحجم الكلي الذي حسبناه.

والترتيب نفسه يعمل لأكثر من جزأين إذا استوفت المعطيات فرضياتنا: احسب حجم كل جزء من كتلته وكثافته، واجمع الكتل والأحجام، ثم اقسم. لكن لا تدخل جزءًا مجهول الكثافة كأنه معلوم لمجرد اكتمال بقية الجدول. ضع أمامه علامة استفهام، وحدد ما يحتاجه الحل من معلومة إضافية. كتابة جدول صغير بعمود للكتلة وآخر للحجم وآخر للكثافة تكشف النقص قبل أن تنتج إجابة تبدو مرتبة وهي مبنية على افتراض خفي.

مسألة عكسية: أي حصة حجمية تعطي متوسطًا معينًا؟

نعود إلى كثافتي أ وب، اثنين وثلاثة، ونطلب متوسطًا 2.6 g/cm³ عند مجموع حجوم معتمد. لتمثل f حصة ب الحجمية، وحصة أ هي 1 − f. عندئذ 2.6 = 2(1 − f) + 3f = 2 + f، فتكون f = 0.6. إذن نحتاج إلى ستين بالمئة من الحجم من ب وأربعين بالمئة من أ، لا إلى ستين بالمئة من الكتلة من ب.

إذا اخترنا الحجم الكلي أربعين سنتيمترًا مكعبًا، فحجم ب أربعة وعشرون وحجم أ ستة عشر. تكون الكتلة الثانية 3×24 = 72 g، والأولى 2×16 = 32 g؛ والمجموع مئة وأربعة غرامات، فيتحقق 104/40 = 2.6 g/cm³. حصة ب من الكتلة هي 72/104، وليست ستين بالمئة. يوضح التحقق أن نوع الحصة جزء من الحل، ولا يجوز حذف وصفها عند كتابة النسبة.

ولكثافتين مختلفتين يمكن اشتقاق f = (ρ̄ − ρ₁)/(ρ₂ − ρ₁). يجب أن تقع الحصة بين صفر وواحد حتى تمثل توزيع حجم من هذين الجزأين فقط. لو طلبت متوسطًا 3.2 مع كثافتين اثنين وثلاثة ضمن الشروط نفسها، لصارت الحصة 1.2، وهي غير مقبولة. لا تبحث عن حجم سالب لتكمل التمرين؛ اذكر أن الهدف غير ممكن ضمن فرضيات هذين الجزأين وجمع حجميهما، لا أنه مستحيل لكل مادة في الطبيعة.

تكبير الجزأين معًا يختلف عن زيادة أحدهما

ابدأ بالمثال الذي جمع عشرين غرامًا من أ وتسعين من ب في أربعين سنتيمترًا مكعبًا. إذا ضاعفنا كمية كل جزء مع ثبات كثافة مادته، تصبح الكتلتان أربعين ومئة وثمانين، والحجمان عشرين وستين. صار الجسم أكبر في هذا النموذج، لكن المتوسط 220/80 = 2.75 g/cm³ بقي كما كان. لم نحافظ على الكثافة بمجرد إعلان أن الجسم كبر؛ حافظنا على نسبته التركيبية وعلى العلاقة بين كتلة كل مادة وحجمها. هذه هي المعطيات التي تجعل المقارنة بين النسختين مفهومة، دون افتراض أن اللون أو الشكل الخارجي يضمن النتيجة.

يمكن تعميم الفحص بعامل تكبير موجب λ. يصبح البسط λm₁ + λm₂ والمقام λV₁ + λV₂، فيختزل العامل المشترك وتبقى نسبة المجموعين نفسها. أما إذا كبر حجم جزء وبقيت كتلته ثابتة، فقد تغيرت كثافته هو، ولم نعد نطبق الحالة السابقة التي افترضت ثبات كثافتي المادتين. اكتب في الحل ما الذي ضربته في العامل: الكتلة والحجم لكل جزء، أم أحدهما وحده؟ اختلاف هذه العبارة يغير النموذج الذي تحلله. ويمكن أن تزيد الكتلة الكلية والحجم الكلي معًا دون أن يكفي هذا الوصف وحده لضمان ثبات الكثافة؛ المطلوب أن يتغيرا بالنسبة المتوافقة في الحساب.

والآن ضاعف كمية ب وحدها مع بقاء أ من المثال الأساسي كما هي. تصبح الكتلة الكلية 20 + 180 = 200 g، والحجم الكلي 10 + 60 = 70 cm³، والمتوسط 200/70 = 20/7 g/cm³، أي نحو 2.86 g/cm³. اقتربنا من كثافة ب لأن حصتها الحجمية زادت، لا لأن كثافتها الخاصة ارتفعت. إذا أجاب متعلم بأن المتوسط يبقى ثابتًا دائمًا عند تكبير الجسم، فاطلب منه مقارنة الحصص الحجمية في هذين المثالين. وسيجد أن تكبير الجزأين معًا حافظ على الربع والثلاثة أرباع، بينما تكبير ب وحدها غير الحصتين. وهكذا تصبح المقارنة تدريبًا على حفظ الشروط عند تعميم قاعدة صحيحة.

وحّد الوحدات قبل جمع البيانات

الوحدة الدولية للكثافة الكتلية هي الكيلوغرام لكل متر مكعب. ويصح التحويل 1 g/cm³ = 1000 kg/m³؛ يجب أن تتوافق وحدات الكتلة والحجم عند التعويض. [1]

لإعادة المثال الأساسي بوحدات دولية نحول عشرين غرامًا إلى 0.020 kg وتسعين إلى 0.090 kg. ونحول عشرة سنتيمترات مكعبة إلى 0.000010 m³ وثلاثين إلى 0.000030 m³. القسمة 0.110/0.000040 = 2750 kg/m³ تطابق 2.75 g/cm³. تغير الرقم مع الوحدة، وبقي وصف الكتلة لكل حجم نفسه. لا تجمع غرامات مع كيلوغرامات قبل تحويلها إلى مقياس واحد.

ويختلف تحويل الحجم عن تحويل الطول: 1 cm = 0.01 m، لكن مكعب هذا العامل هو 0.000001، لأن الحجم يتضمن ثلاثة أبعاد. لذلك لا تستعمل عامل مئة وحده لتحويل سنتيمتر مكعب إلى متر مكعب. اكتب الوحدة مع كل قيمة في السطر الوسيط، ثم افحص أن البسط كتلة والمقام حجم. إذا بقيت وحدة مساحة أو قوة في موضع إحدى الكميتين، فراجع اختيار المعطى قبل محاولة إصلاح الناتج بتغيير الفاصلة العشرية.

الحجم الخارجي أو النهائي قد يغير المقام

افترض في نموذج آخر أن المادتين من مثالنا تشغلان أربعين سنتيمترًا مكعبًا داخل غلاف حجمه الخارجي ثمانون، وأن كتلة الغلاف وما في الفراغ مهملتان في هذا النموذج. إذا طُلب متوسط الكثافة بالنسبة إلى الحجم الخارجي، فالنتيجة 110/80 = 1.375 g/cm³. هذه ليست كثافة مادة أ أو ب، ولا المتوسط المحسوب بالنسبة إلى حجميهما وحدهما. تغير تعريف الحجم الذي نقسم عليه، ولذلك تغير جواب السؤال.

في هذه النتيجة نزلنا دون كثافة أ التي تساوي اثنين. لا يتناقض ذلك مع فحص الوقوع بين الكثافتين، لأن شرطه كان أن يكون المقام مجموع حجمي الجزأين فقط. المقام الآن يتضمن فراغًا إضافيًا ضمن الحد الخارجي. وإذا كانت كتلة الغلاف أو الغاز غير مهملة، يجب إدراجها في الكتلة المناسبة أيضًا. لا تمدد حجم الجسم في المقام وتثبت الكتلة القديمة دون تصريح بأنك أهملت المساهمات الأخرى.

ومثال مستقل على معطى نهائي: يقول السؤال إن الكتلة بعد عملية ما مئة وعشرة غرامات وإن الحجم النهائي ستة وثلاثون سنتيمترًا مكعبًا. نستخدم ρ̄ = 110/36 = 55/18 g/cm³، أي نحو 3.06 g/cm³ عند التقريب إلى منزلتين عشريتين. لا نستبدل الحجم المعطى بالأربعين من مثال جمع الجزأين. هذا تمرين بمعطيات افتراضية، لا توثيق لخلط سائلين أو تحديد لسبب تغير الحجم؛ ولا نثبت منه آلية فيزيائية أو كيميائية لم يذكرها السؤال.

ثلاثة تمارين مع حلول مفسرة

التمرين الأول: جزء كتلته ثلاثون غرامًا وحجمه خمسة عشر سنتيمترًا مكعبًا، وآخر كتلته مئة وحجمه خمسة وعشرون. إذا كان الحجم المعتمد مجموعهما، فما المتوسط؟ نجمع الكتل إلى مئة وثلاثين والأحجام إلى أربعين، فنحصل على 3.25 g/cm³. وكثافتا الجزأين هما اثنان وأربعة، فيقع الناتج بينهما. المتوسط البسيط ثلاثة لا يعيد الكتلة الكلية عند ضربه في الحجم الأربعين، لذلك نرفضه لهذا المثال.

التمرين الثاني: حجمان متساويان، مقدار كل منهما عشرة سنتيمترات مكعبة، وكثافتاهما 1.2 و4.8 g/cm³. الكتلتان اثنا عشر وثمانية وأربعون، والمجموع ستون غرامًا في عشرين سنتيمترًا مكعبًا؛ المتوسط ثلاثة. هنا وافق المتوسط البسيط النتيجة لأن الحجمين متساويان. إذا غيرنا أحد الحجمين، يجب إعادة حساب الكتل أو استعمال الحصص الحجمية الجديدة؛ تساوي سابق في ورقة حل لا يصبح قاعدة لكل نسخة من التمرين.

التمرين الثالث: كتلتان متساويتان، ثلاثون غرامًا لكل جزء، وكثافتاهما 1.5 وثلاثة. الحجمان عشرون وعشرة، فيكون المتوسط 60/30 = 2 g/cm³. لا تعطِ 2.25، فهي متوسط الكثافتين الحسابي وليست نسبة الكتلة الكلية إلى الحجم الكلي هنا. وفي مراجعة أي تمرين اكتب: ما الذي جمعته، وما الحجم المقصود، وهل وحداتي متوافقة، وما الفرضية التي سمحت لي بجمع الحجوم؟ بهذه الأسئلة تصبح النتيجة قابلة للفحص، لا رقمًا منفصلًا عن معطياته.