قانون نيوتن الثالث في جدول قوى: المتفاعل والجسم والمحصلة

اسم القوة يحدد ما الذي نجمعه

نقرأ عبارة «قوة ب على أ» على أنها قوة يستقبلها أ، مصدرها التفاعل مع ب. نكتب في سطرها اسم المستقبِل أولًا، ثم اسم الطرف الآخر، ثم القيمة بإشارتها. هذا الترتيب اختيار صريح للدفتر، وليس شرطًا بأن تستعمل كل الكتب ترتيب الحروف نفسه. عند الانتقال إلى رمز من مرجع آخر، اقرأ تعريفه؛ فقد يكتب مؤلف الحرفين بترتيب آخر ويحدد معناه بالكلمات.

وفي رمزنا F(A←B) يساعد السهم داخل القوس على تذكر أن القراءة تنتهي عند أ. أما السهم الفيزيائي في مخطط القوة فيدل على اتجاه التأثير في المساحة المرسومة. هذان استعمالان مختلفان للسهم؛ الأول يشرح الطرف المستقبِل في الاسم، والثاني يشرح الاتجاه على محور اخترناه. لذلك نعطي الإشارة العددية مع القوة، ونصرح بأن اليمين موجب، بدل استنتاج اتجاه الحركة من ترتيب الحروف وحده.

تستطيع تحويل كل سطر إلى سؤالين: على من تؤثر القوة، ومن الطرف الآخر؟ إذا كان المطلوب محصلة أ، فالسؤال الأول ينتقي السطر الذي ستجمعه. وإذا كان المطلوب شريك القوة في التفاعل، فالسؤالان معًا يحددان السطر الذي تقلب فيه الطرفين. هذه القراءة البسيطة تمنع أن تستعمل كلمة «رد فعل» كأنها اسم رقم جاهز يصح إضافته أو طرحه في أي حساب.

ثلاثة تفاعلات في السجل الأصلي

نعطي تفاعل أ وب مقدار ثمانية عشر نيوتنًا: قوته على أ سالبة، وعلى ب موجبة. ونعطي تفاعل أ وج مقدار ستة: على أ موجب، وعلى ج سالب. أما تفاعل ب وج فمقداره تسعة، وقوته على ب سالبة، وعلى ج موجبة. لا تعني هذه الإشارات أن إحدى القوتين أكبر من الأخرى داخل الزوج؛ المقداران متساويان، بينما يبين اختلاف الإشارة الاتجاه على المحور المشترك الذي اخترناه.

هذه لقطة لقوى معطاة عند لحظة، ولا تتضمن مواقع الأجسام أو سرعاتها أو تاريخ تغير القوى. الرسم اللاحق يعرض مخططات منفصلة، لا مسافات بين الأجسام. لذلك لا نقيس من مواضع البطاقات مسافة حقيقية، ولا نستخرج نوع مادة أو جهاز اتصال بينها. المهم أن كل تفاعل معلن له طرفان، ولكل طرف قوة يستقبلها في السجل. يمكننا فحص الأسماء والجمع من هذه البيانات من غير إضافة نموذج تشغيل لم يُعطَ.

المحصلة تجمع بحسب الجسم المستقبِل

ننتقي لأ سجلين فقط: القوة من ب سالب ثمانية عشر، والقوة من ج موجب ستة. جمعهما −18+6=−12 N، أي اثنا عشر نيوتنًا إلى اليسار. لا نضع موجب ثمانية عشر في هذا الجمع، لأن ذلك السجل يخص القوة على ب. مع أنه شريك القوة الأولى في التفاعل، فإن كلمة «شريك» لا تنقله إلى قائمة القوى التي يستقبلها أ. اسم كل قوة حدد الحساب قبل أن ندخل الأرقام.

ولب نجمع موجب ثمانية عشر من أ وسالب تسعة من ج، فتكون المحصلة +9 N. ولج نجمع سالب ستة من أ وموجب تسعة من ب، فنصل إلى +3 N. محصلتا ب وج موجبتان، لكن مقدار إحداهما ثلاثة أمثال الأخرى في هذه اللقطة. لا نحكم منهما على أي جسم يتحرك أسرع، لأن السرعات لم تقدم في السجل. نحن حسبنا قوة محصلة، وسنحتاج الكتل لإعطاء التسارعات.

اكتب في نهاية كل قائمة اسم الجسم بجانب المجموع. يمكنك بعدها مراجعة أن كل قوة من القوى الست دخلت مرة واحدة في محصلة مستقبِلها، وأن جميع السجلات كانت واضحة الهوية. هذا فحص للتوزيع على القوائم الثلاث، يختلف عن فحص كل زوج على حدة. قد ينجح جمع أ حسابيًا بينما يكون جدول ب ناقصًا؛ لذلك راجع عدد الأسطر وأسماءها إلى جانب مراجعة الإشارات.

تساوي عضوَي الزوج لا يعين تسارع كل جسم

في إطار قصوري ولجسم ثابت الكتلة، تتحدد عجلة الجسم من محصلة القوى الخارجية عليه: ΣF=ma. محصلة صفرية تعني تسارعًا صفريًا، لا سرعة صفرية بالضرورة. [2]

نعطي الكتل ثلاثة كيلوغرامات لأ، وتسعة لب، وستة لج، ونستعمل المحصلات التي حسبناها. تسارع أ −12/3=−4 m/s²، وب 9/9=+1 m/s²، وج 3/6=+0.5 m/s². هذه نتائج اللقطة بالافتراضات المذكورة. لو وضعت مقدار ثمانية عشر وحده على أ، لتجاهلت قوة ج عليه. لا يستبدل القانون الثالث خطوة جمع القوى الأخرى المؤثرة في الجسم الذي تريد تسارعه.

وللتأكد، أعد ضرب كل تسارع في كتلته: 3×(−4)=−12 N، و9×1=9 N، و6×0.5=3 N. عادت النتائج إلى المحصلات، لا إلى مقدار تفاعل واحد تختاره من الرسم. اختلاف التسارعات هنا يعكس اختلاف المحصلات والكتل معًا. لذلك لا تكفي مقارنة الكتلتين وحدهما أو عضوين من زوج القوة إذا كان أحد الجسمين يتأثر بقوة إضافية في الجدول.

والتسارع في هذه اللقطة لا يعطي وحده سرعة الجسم أو المسافة التي قطعها. لم نعط سرعة ابتدائية ولا فترة نحافظ خلالها على القوى نفسها. إذا طلب سؤال لاحق الحركة عبر زمن، فإنه يحتاج تلك المعطيات أو وصف تغير القوة. احتفظ بنتائج اللقطة في خانتها، ولا تجعل السالب وصفًا لصغر السرعة أو حتمية اتجاهها. السالب هنا يعني اتجاه التسارع بالنسبة إلى المحور المعلن.

اختيار جسم واحد يبقي القوى الواقعة عليه

نضع حدًا حول أ وحده. ب وج خارج هذا الاختيار، لكن القوتين اللتين يؤثران بهما على أ داخلان في حساب محصلته. أما قوة أ على ب وقوته على ج، فمستقبِلاهما خارج الجسم الذي حددناه. عند رسم مخطط أ نحتفظ بالسجلين الأولين ونضع السهمين اللذين يوافقانهما. لا نضيف سطرًا لمجرد أنه يبدأ في وصفه بأ، بل نسأل هل أ هو مستقبِله أم مصدره.

ثم نعيد العملية لب ولج. في مخطط ب يظهر تأثير أ وتأثير ج عليه، وفي مخطط ج يظهر تأثير أ وتأثير ب. لذلك ستجد في المخططات الثلاثة أعضاء جميع الأزواج موزعة على مستقبِليها. عدم وجود عضوَي الزوج معًا في مخطط جسم واحد لا يعني أنهما لم يعودا موجودين في النظام الكامل. إنه نتيجة السؤال الذي جعلنا نعرض قوة جسم بعينه منفصلة عن غيره.

نظام أ وب له قوى داخلية وخارجية

القوة الداخلية يكون طرفا تفاعلها داخل النظام المختار. عند جمع قوى النظام تلغي القوتان الداخليتان مساهمتيهما، بينما تبقى القوى الآتية من أجسام خارجه. [1]

نختار هذه المرة أ وب معًا، ونبقي ج خارجهما. تفاعل الثمانية عشر بين أ وب داخلي لهذا الاختيار؛ مساهمتا −18 N و+18 N تلغيان بعضهما في الجمع الخاص بالنظام. أما تأثير ج على أ موجب ستة، وتأثيره على ب سالب تسعة، فكلاهما يأتي من طرف خارج الحدود المختارة. المجموع الخارجي الأفقي 6−9=−3 N. هذه النتيجة تخص حدودًا مختلفة عن مخطط أ وحده.

يمكن مراجعتها بجمع محصلتي الجسمين اللتين حسبناهما أصلًا: −12+9=−3 N. ظهرت النتيجة نفسها لأننا جمعنا السجلين كاملين ثم ألغينا المساهمتين الداخليتين. لا يعني هذا أن محصلة أ صارت سالب ثلاثة أو أن محصلة ب اختفت. تلك محصلات فردية لها أسماءها وكتلها. نحن أنشأنا مجموعًا يخص أ وب معًا، ولم نعط شرطًا بأن يتحركا كقطعة صلبة واحدة بتسارع واحد.

ولا ندرج في هذا الجمع قوة أ على ج سالب ستة، أو قوة ب على ج موجب تسعة. هاتان تقعان على ج، وهو خارج اختيارنا. من المفيد كتابة الجهات الأربع المرتبطة بج قبل انتقاء اثنتين منها: ج على أ، وج على ب، وأ على ج، وب على ج. تبديل الكلمات يحدد أي طرف يستقبل القوة، ولذلك يحدد أي سطر يدخل في قوة أ وب الخارجية.

قوى النظام الكامل ومحصلة كل جسم

نوسع الحدود لتضم أ وب وج. صارت التفاعلات الثلاثة كلها داخلية، ويعطي جمع القوى الست −18+18+6−6−9+9=0 N. تستطيع أيضًا جمع المحصلات الفردية −12+9+3=0 N. طريقة الجمع تغيرت من ترتيب الأزواج إلى ترتيب الأجسام، لكننا استعملنا مجموعة القوى نفسها مرة واحدة. هذا اختبار لاتساق تنظيم السجل، لا طلب أن تكون كل محصلة فردية صفرًا.

تسارعات أ وب وج في اللقطة الأصلية ما زالت سالب أربعة وموجب واحد وموجب نصف، وفق كتلها. قد يبدو اجتماع المجموع الصفري مع هذه النتائج غريبًا إذا أسقطت أسماء الأجسام من الحساب. أعدها: ثلاثة مضروبة في سالب أربعة، وتسعة في موجب واحد، وستة في موجب نصف، مجموعها صفر. بذلك تتفق المحصلات مع العلاقة التي استخدمناها لكل جسم، من غير أن نجعل الأفراد الثلاثة متزنين وحدهم.

ولا نجمع مقادير القوى جميعًا بلا إشارات ثم نسمي الناتج محصلة النظام. مجموع المقادير في سجلاتنا هو ستة وستون نيوتنًا، وهو عد للأرقام الموجبة التي تمثل أحجام التأثيرات المكتوبة، لا قوة محصلة باتجاه واحد. من يقرأ سؤال المحصلة يحتاج الاتجاهات والحدود التي تجمع لأجلها. احتفظ بفحص مجموع المقادير إن كان مجرد مراجعة للبيانات، لكن سمِّه بما حسبت حتى لا يجيب عن سؤال مختلف.

فرع يجعل أ متزنًا مع بقاء تفاعلاته

نؤلف فرعًا مستقلًا نستبدل فيه تفاعل أ وج: تصبح قوة ج على أ موجب ثمانية عشر، وقوة أ على ج سالب ثمانية عشر. نترك تفاعل أ وب وتفاعل ب وج كما كانا. محصلة أ الآن −18+18=0 N. القوتان اللتان جمعناهما على أ لهما مصدران مختلفان، ب وج، وليستا زوج القوة نفسه رغم تساوي المقدارين وتعاكس الاتجاهين. شركاء هاتين القوتين يقعان على ب وعلى ج.

محصلة ب تبقى موجب تسعة، ومحصلة ج تصبح −18+9=−9 N. ومجموع المحصلات الثلاث صفر مرة أخرى. طبق على أ العلاقة التي استخدمناها فتجد تسارعًا صفريًا في هذا الفرع، لكن سرعته في تلك اللحظة غير معطاة. لهذا لا نكتب أنه ساكن اعتمادًا على الجمع وحده. فرّق بين تقرير محصلة صفرية وتقرير أن الجسم بدأ ساكنًا وبقيت ظروف اتزانه خلال فترة معلومة.

ولماذا بدلنا السجلين معًا؟ لأن الفرع وصف تغير تفاعل أ وج مع الإبقاء على القانون الثالث في النموذج. لو رفعنا قوة ج على أ وحدها وتركنا قوة أ على ج سالب ستة، لصرنا نكتب زوجًا غير متوافق مع الفرض. حين تغير بيانات تمرين، حدد هل أعطيت حالة جديدة متسقة أم تريد عرض خطأ في تدوينها. ذكر الغرض يجعل الطالب يعرف أي نوع من المراجعة يجري.

ترتيب الصفوف لا يرتب حدوث القوتين

قوتا التفاعل متزامنتان؛ تسميتا الفعل ورد الفعل لا تحددان ترتيبًا زمنيًا تحدث فيه إحداهما بعد الأخرى. [1]

في دفترنا يمكن أن نكتب القوى على أ أولًا، ثم على ب، ثم على ج. ويمكن أن نرتب الأزواج في صفوف، أو أن نبدأ بقوة ب على ج. لا يغير أي من هذه الترتيبات اللقطة التي أعطيناها. ترتيب العرض يختار طريقة القراءة، ولا يقدم فرقًا زمنيًا بين عضوَي التفاعل. إذا قدم جدول تاريخين لقياسين مختلفين، فتلك مسألة أخرى تحتاج بيان الزمن قبل أن نعامل السطرين كزوج من اللحظة نفسها.

والسالب لا يعني أن القوة هي رد الفعل في كل تسمية. إذا اخترنا اليسار موجبًا في وصف جديد للسجل نفسه، تنقلب إشارات جميع القوى: كانت محصلة أ سالب اثني عشر فتكتب موجب اثني عشر، لكن اتجاهها الفيزيائي إلى اليسار لم يتبدل. تبقى مقادير الأزواج متساوية ومتعاكسة. تغيير المحور يغير الأعداد الموقعة في جدولنا، لا الأجسام المستقبلة ولا حقيقة التفاعل الذي تصفه.

عند مراجعة جدولين بمفتاحين مختلفين، ترجم تعريف الرموز والاتجاه الموجب أولًا. قد يكون أحدهما يكتب المصدر قبل المستقبِل، أو يعكس اتجاه المحور، ثم يصل إلى وصف الحركة نفسه. لا تحكم بتعارضهما من اختلاف علامة واحدة أو ترتيب حرفين. أما إذا اتفق المفتاحان والأجسام واللحظة والفرض، فعندها تصبح مقارنة القيم مباشرة وتستطيع تحديد السطر الذي يحتاج تصحيحًا.

خطأ عضو واحد قد يختبئ في مجموع غير مفحوص

نعود إلى السجل الأصلي، ونفترض خطأ تدوين جعل قوة أ على ب موجب واحد وعشرين بدل الثمانية عشر، مع بقاء قوة ب على أ سالب ثمانية عشر. مجموع هذا الزوج صار موجب ثلاثة نيوتنات، بدل الصفر. وبقاء الأزواج الأخرى كما كانت يجعل مجموع السجلات كلها موجب ثلاثة أيضًا. لأننا صرحنا بأن الجدول الأصلي كامل في هذا النموذج ولا قوى أفقية أخرى، فهذا التعديل لا يتسق مع زوج التفاعل المعلن.

يمكن إصلاح التدوين بإعادة الواحد والعشرين إلى الثمانية عشر. ويمكن بدلًا من ذلك تأليف حالة جديدة تجعل عضوَي تفاعل أ وب سالب وموجب واحد وعشرين معًا. في الحالة الجديدة تصير المحصلات −21+6=−15 N لأ، و21−9=+12 N لب، وموجب ثلاثة لج، ومجموعها صفر. هذا يبين الفرق بين تصحيح خطأ في سطر وبين استبدال بيانات تفاعل كامل في فرع جديد.

ومع ذلك، صفر مجموع القوى كلها وحده ليس مراجعة كافية لهوية الأزواج؛ يمكن أن تتعادل أخطاء رقمية أخرى في المجموع العام. لذلك نفحص كل سطرين متبادلي الطرفين أولًا، ثم قوائم المستقبِلين، ثم مجموع النظام. تلك فحوص لأسئلة مختلفة. إذا ظهر مجموع صحيح بينما كان زوج أ وب غير صحيح، فلا تكتف بالعدد الأخير لتعلن اتساق جميع بيانات الدفتر.

السطر المفقود والبيانات التي لا يعينها القانون

افترض أن نسخة من دفترنا حذفت قوة ب على ج، وأبقت قوة ج على ب سالب تسعة. ضمن التفاعل النيوتني المعلن واللحظة نفسها، نستعيد الشريك موجب تسعة على ج من ب. ما استعدناه قوة من زوج معطى، لا قراءة من جهاز نفذناه. ضع إلى جانب السطر المستعاد مصدر الاستنتاج، حتى تميز بين ما قدمه السؤال وما أضفته بتطبيق العلاقة التي يسمح بها.

أما إذا لم تعط قوة أي طرف من تفاعل ب وج، فلا تستطيع إخراج مقدار تسعة من القانون الثالث وحده. يقول القانون كيف يرتبط العضوان، لكنه لا يختار المقدار العددي لكل تفاعل مجهول. كذلك، إذا أعطيت محصلة ب فقط، فقد تكون هناك توزيعات مختلفة لقواه تحقق هذا المجموع. في السجل الأصلي عرفنا الأعضاء منفردة لأننا قدمناها، لا لأن كل محصلة تكشف وحدها أسماء القوى التي جمعت فيها.

ولهذا نكتب تحت نسخة الجدول إن كانت كاملة أو مختصرة، وما إذا كانت جميع القيم تخص لحظة واحدة. غياب سطر من نسخة لا يثبت غياب القوة من الحالة التي يراد وصفها. ولا نحكم على مجموع مبتور بأنه القوة الخارجية الكلية من غير هذا البيان. تمرين السطر المفقود يعلمنا أن نقول ما الذي استطعنا استعادته من زوج معطى، وما الذي ظل يحتاج معطيات جديدة.

تمرين نهائي يراجع الأسماء والحدود والجمع

غطِّ نتائج المحصلات في الرسم الثاني، وابدأ من أزواج الرسم الأول. كوّن لأ قائمة بقوتيه، ولب قائمة بقوتيه، ولج قائمة بقوتيه. ينبغي أن تصل إلى سالب اثني عشر وموجب تسعة وموجب ثلاثة، ثم أن تعود إلى التسارعات من الكتل المعطاة. بعد ذلك اختر أ وج نظامًا: التفاعل الداخلي بينهما يلغى في الجمع، وتبقى قوتا ب على أ وعلى ج، −18+9=−9 N.

راجع هذه الأخيرة من محصلتي أ وج: −12+3=−9 N أيضًا. ثم اختر ب وج، فتجد من قوى أ الخارجية 18−6=+12 N، ومن محصلتي ب وج 9+3=+12 N. لا تجعل اختيارات الأنظمة الثلاثة قوى إضافية تجمع فوق بعضها؛ إنها أجوبة عن حدود مختلفة باستعمال السجلات نفسها. المقارنة بين طريقتي الحساب في كل اختيار هي التي تكشف خطأ إدخال قوة على جسم خارج الحدود.

في ورقة إجابتك اكتب ثلاثة أسطر قبل النتيجة: تعريف رمز القوة، والاتجاه الموجب، والجسم أو النظام الذي تجمع له. ثم صنف الأسطر المطلوبة بحسب المستقبِل، أو اعكس الطرفين إذا كان السؤال عن شريك التفاعل. بهذه الخطوات يعود القانون الثالث إلى العلاقة التي يقررها فعلًا، ويبقى حساب المحصلة والتسارع مرتبطًا بمعطياته. تتوقف صحة الجواب على هذه الأسماء والفروض بقدر ما تتوقف على جمع الإشارات والأعداد.