القيمة المطلقة تمثل مسافة، ولذلك لا تكون سالبة. عندما نطلب |x−a| < r لعدد r موجب، نبحث عن نقاط تبعد أقل من r عن a؛ الحل داخل مجال. أما |x−a| > r فيبحث عن النقاط الأبعد، فيعطي مجالين خارجيين. تفسير المسافة يوضح سبب اختلاف «و» عن «أو». [1]
عندما تكون المسافة أقل من حد موجب
لـ r>0، تعادل |u| < r الشرطين −r < u و u < r معًا، فنكتبهما −r < u < r. ومع ≤ تدخل الحدود: −r ≤ u ≤ r. [1]
في |x−2| < 3 نكتب −3 < x−2 < 3، ثم نضيف 2 إلى الأجزاء الثلاثة: −1 < x < 5. كل نقطة داخل المجال تحقق الشرط، أما −1 و 5 فبعد كل منهما 3 بالضبط، لذا يستبعدان.
عندما تكون المسافة أكبر من حد موجب
لـ r>0، تعادل |u| > r أحد الشرطين u < −r أو u > r. نستخدم «أو» لأن العدد يمكن أن يقع في جهة واحدة من الجهتين. ومع ≥ تدخل النهايات. [1]
في |x−2| ≥ 3 يكون x−2 ≤ −3 أو x−2 ≥ 3، أي x ≤ −1 أو x ≥ 5. المنتصف لا يدخل في الحل؛ مثل x=2 يعطي قيمة مطلقة 0 وليست على الأقل 3.
اعزل القيمة المطلقة قبل التحويل
نحل 2|3x−1|+1 ≤ 9: نطرح 1 فنحصل على 2|3x−1| ≤ 8، ثم نقسم على 2 فنصل إلى |3x−1| ≤ 4.
نكتب −4 ≤ 3x−1 ≤ 4، ثم نضيف 1: −3 ≤ 3x ≤ 5، ثم نقسم على 3: −1 ≤ x ≤ 5/3. القيمتان الطرفيتان تدخلان لأن الإشارة ≤.
وإذا قسمت متباينة على عدد سالب، يجب عكس اتجاه الإشارة. لا تحذف معاملًا سالبًا دون هذه الخطوة.
الصفر والعدد السالب حالات خاصة
| المتباينة | الحل الحقيقي |
|---|---|
| |x+4| < −2 | لا حل؛ القيمة المطلقة غير سالبة |
| |x+4| > −2 | كل الأعداد الحقيقية |
| |x+4| ≤ 0 | x = −4 فقط |
| |x+4| > 0 | كل الأعداد الحقيقية عدا −4 |
عند حد سالب أو صفري، ارجع إلى عدم سلبية القيمة المطلقة. القواعد المكتوبة r>0 لا تستخدم دون فحص شرطها.
راجع مناطق الحل ونهاياتها
دائرة مفتوحة على خط الأعداد تعني أن النهاية لا تدخل، والممتلئة تعني دخولها. اختر نقطة داخل المنطقة ونقطة خارجها وعوض في المتباينة الأصلية؛ قد يكشف ذلك خطأ في اتجاه التظليل.
في المثال الأول x=0 يعطي |−2|=2<3، بينما x=6 يعطي 4>3 فلا يدخل. هذا اختبار مساعد لبعض النقاط؛ الحل الكامل ينتج من المتباينة المكافئة، وليس من تجربة بضعة أعداد فقط.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: متباينات القيمة المطلقة الأقل والأكبر من وتمثيل مجموعات الحل (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.