خليط زمنين أسيين: هل يساوي متوسط المعدلين؟

خليط زمنين أسيين له معدل انتهاء متناقص. [1][3]

الخلاصة السريعة

لا؛ متوسط المعدلين يصف البداية. [3]

نوع ثابت: A بوزن 0<w<1، وB بوزن 1−w. T|A~Exp(a),T|B~Exp(b)؛ 0<a<b<∞ بالدقيقة⁻¹، بلا إزاحة؛ T بالدقائق. زمن واحد، لا مجموع ولا أصغر زمنين. [1][2]
لـt≥0، البقاء R(t)=P(T>t)=we^(−at)+(1−w)e^(−bt). الكثافة f(t)=wae^(−at)+(1−w)be^(−bt) لـt>0؛ صفر خارجه، وP(T=0)=0. [1][2]
وزن البطيء بين الباقين q(t)=we^(−at)/R(t)=w/[w+(1−w)e^(−(b−a)t)]. معدل الانتهاء h(t)=f(t)/R(t)=aq(t)+b(1−q(t)) بالدقيقة⁻¹. معدلا النوعين ثابتان؛ يتغير وزن الباقين. [3][4]
بالتفاضل h′(t)=−(b−a)²q(t)(1−q(t))<0؛ لذلك ليس التوزيع أسيًا. h(0)=wa+(1−w)b بحد يميني، وh(t)→a؛ لا كتلة عند الصفر. [3][4]
ضع m=wa+(1−w)b. من h(t)<m لـt>0 وR(t)=e^(−∫₀ᵗh(u)du) نحصل على R(t)>e^(−mt). للأمثلة المؤلفة a=1,b=3,w=0.25,0.5,0.75: R(1)≈0.129310,0.208833,0.288356؛ وللوزن الأوسط e^(−m)≈0.135335. [1][3]

ثبت النوع والمعدلين

نوع ثابت: A بوزن 0<w<1، وB بوزن 1−w. T|A~Exp(a),T|B~Exp(b)؛ 0<a<b<∞ بالدقيقة⁻¹، بلا إزاحة؛ T بالدقائق. زمن واحد، لا مجموع ولا أصغر زمنين. [1][2]

احسب البقاء والكثافة

لـt≥0، البقاء R(t)=P(T>t)=we^(−at)+(1−w)e^(−bt). الكثافة f(t)=wae^(−at)+(1−w)be^(−bt) لـt>0؛ صفر خارجه، وP(T=0)=0. [1][2]

حدث وزن الباقين

وزن البطيء بين الباقين q(t)=we^(−at)/R(t)=w/[w+(1−w)e^(−(b−a)t)]. معدل الانتهاء h(t)=f(t)/R(t)=aq(t)+b(1−q(t)) بالدقيقة⁻¹. معدلا النوعين ثابتان؛ يتغير وزن الباقين. [3][4]

اشتق معدل الانتهاء

بالتفاضل h′(t)=−(b−a)²q(t)(1−q(t))<0؛ لذلك ليس التوزيع أسيًا. h(0)=wa+(1−w)b بحد يميني، وh(t)→a؛ لا كتلة عند الصفر. [3][4]

قارن بمتوسط المعدلين

ضع m=wa+(1−w)b. من h(t)<m لـt>0 وR(t)=e^(−∫₀ᵗh(u)du) نحصل على R(t)>e^(−mt). للأمثلة المؤلفة a=1,b=3,w=0.25,0.5,0.75: R(1)≈0.129310,0.208833,0.288356؛ وللوزن الأوسط e^(−m)≈0.135335. [1][3]

احتمال البقاء — البقاء الأصلي؛ المتقطع لمتوسط المعدلين. [1][2][3][4]

المراجع

عضوية الخليط

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.