أبرز خواص الدالة الخطية ثبات معدل التغير وتمثيلها بخط مستقيم. في الصيغة المدرسية f(x) = mx + b، يحدد m الميل، ويحدد b موضع التقاطع مع محور الصادات. وبمعرفة هذين العددين تستطيع توقع اتجاه الرسم وحساب نقاطه، مع الانتباه إلى المجال الذي تسمح به المسألة. [1]
ما الذي يبقى ثابتًا؟
ثبات معدل التغير يعني أن الزيادة نفسها في المدخل تقابلها زيادة ثابتة في الناتج. لا يشترط أن تزيد القيم؛ فقد يكون التغير سالبًا أو صفرًا. نحسبه من نقطتين مختلفتي الإحداثي السيني: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). حافظ على ترتيب النقطتين نفسه في البسط والمقام. [1]
مثالنا f(x) = 2x − 3. عند انتقال x من 0 إلى 1 يتغير الناتج من −3 إلى −1، أي يزيد بمقدار 2. وعند الانتقال من 1 إلى 2 يصل إلى 1، بالزيادة نفسها. هذا ما يميز الدالة عن علاقة يتبدل معدل تغيرها من فترة إلى أخرى.
الميل والمقطع الصادي
إذا كان m > 0 فالدالة متزايدة، وإذا كان m < 0 فهي متناقصة، وإذا كان m = 0 كان الرسم أفقيًا وثبت الناتج. أما b فهو قيمة الدالة عند x = 0؛ أي إن نقطة التقاطع مع محور الصادات (0, b). [1]
في f(x) = 2x − 3 الميل 2 والمقطع الصادي −3. لا تخلط موضع نقطة البداية على محور الصادات بمقدار التغير. قارنها بـ g(x) = 2x + 4: الميل نفسه، لكن الرسم الثاني أعلى من الأول بمقدار 7 وحدات عند كل مدخل.
من الجدول إلى الرسم البياني
نختار قيمًا للمدخل ونحسب الناتج بالتعويض. يظهر المثال التالي ثلاث نقاط للدالة السابقة؛ وضعت القيم بالترتيب نفسه في الجدول والرسم حتى يسهل التحقق.
| x | 2x − 3 | النقطة |
|---|---|---|
| 0 | −3 | (0, −3) |
| 1 | −1 | (1, −1) |
| 3 | 3 | (3, 3) |
ضع النقطتين الأوليين على شبكة ذات تدريج واضح، ثم ارسم الخط المار بهما. اختبر النقطة الثالثة بدل استخدامها لتغيير موضع خط مرسوم خطأ. بين (1, −1) و (3, 3)، مقدار الصعود 4 والتقدم الأفقي 2؛ لذا يعيد الحساب الميل 4/2 = 2.
المجال والمدى والدالة الثابتة
إذا لم يقيد المجال، فإن mx + b معرف لكل عدد حقيقي. وعندما m ≠ 0 يمكن الحصول على أي ناتج حقيقي y باختيار x = (y − b)/m؛ فيكون المدى جميع الأعداد الحقيقية أيضًا. أما الدالة الثابتة f(x) = 4 فمداها المجموعة {4} فقط.
المسائل التطبيقية قد تضيق المجال. لنفترض نموذجًا تعليميًا لثمن حبل: C(x) = 0.75x + 2، حيث الطول بالأمتار، والبيع من 0 إلى 8 أمتار. عندئذ يكون المجال [0, 8] والمدى [2, 8] بالوحدة النقدية المفترضة. هذه أسعار اختيرت للمثال، وليست أسعار متجر حقيقية.
هل كل مستقيم يمثل دالة خطية؟
المستقيم الرأسي x = 3 يمر بقيم كثيرة للصادات عند المدخل نفسه، فلا يمثل دالة تعطي ناتجًا واحدًا لكل x. كما لا يحسب ميله بقسمة عادية؛ التغير السيني بين نقطتيه صفر. هذا يختلف عن المستقيم الأفقي الذي ميله صفر لكنه يعطي ناتجًا واحدًا لكل مدخل.
نستخدم هنا اصطلاح الدالة الخطية المدرسي الذي يشمل mx + b. أما في الجبر الخطي فيستعمل تعريف أدق يشترط الحفاظ على الجمع والضرب العددي؛ وبهذا الاصطلاح لا تعد إضافة ثابت غير صفر تحويلًا خطيًا. اقرأ اصطلاح المنهج قبل مقارنة تعريفين.[2]
تمرين على المعكوس والتحقق
للدالة غير الثابتة يمكن تبديل دور المدخل والناتج وحل المعادلة. في مثالنا y = 2x − 3 نحصل على x = (y + 3)/2. إذن معكوسها f⁻¹(x) = (x + 3)/2؛ وباختيار المدخل الأصلي 3 يكون الناتج 3 ويعيد المعكوس القيمة نفسها.
جرّب أيضًا المدخل 0: يعطي f(0) = −3، ثم f⁻¹(−3) = 0. المعكوس هنا لا يعني المقلوب 1/f(x). وللدالة الثابتة لا يوجد معكوس على مجالها الكامل؛ إذ لا يمكن معرفة أي مدخل سابق من ناتج واحد ثابت.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: الدوال الخطية وتمثيلها ومعدل التغير (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- Wolfram MathWorld: تعريف التحويل الخطي في الجبر الخطي (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.