خواص القيمة المطلقة: المسافة والضرب والجمع وتقسيم الحالات

الخلاصة السريعة

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي هي مسافته عن الصفر؛ لذلك لا تكون سالبة. نرمز لها بـ |x|، وتساوي x إذا كان غير سالب، و −x إذا كان سالبًا.^[1][2]

• الصفر قيمته المطلقة صفر، والمنحنى الأساسي y = |x| يمر بنقطة الأصل.^[1][2]
• للأعداد الحقيقية: |ab| = |a||b|، وللقسمة |a/b| = |a|/|b| بشرط b ≠ 0.^[3]
• القيمة المطلقة لا تتوزع عمومًا على الجمع؛ الصحيح |a+b| ≤ |a|+|b|.^[3][4]
• في مثالنا، معادلة |x−1| + |x−6| = 5 تتحقق لكل x في الفترة [1,6].
• نفصل الحالات عند نقاط تغير إشارة ما داخل الرمزين، ونقيد حل كل حالة بفترتها.^[2]

ما الخصائص الأساسية للقيمة المطلقة؟

تتساوى القيمتان المطلقتان لعدد ومعكوسه الجمعي: |−x| = |x|. ولا تتحقق |x| = 0 إلا عند الصفر.^[1]

في مثال مستقل، |−8| = |8| = 8، و |0| = 0. على الرسم الأساسي نصل بين نقطة الأصل والنقطتين (−8,8) و(8,8) بخطين؛ لهذا ليس صحيحًا أن جميع نقاطه أعلى محور السينات بصورة صارمة.

في الضرب نحصل على حاصل ضرب القيم المطلقة. وإذا كان b غير صفر، فإن تطبيق هذه الخاصية على a = (a/b)b ثم القسمة على |b| يعطي قانون القسمة.^[3]

مثلًا، |(−6) × 4| = |−24| = 24، ويساوي 6 × 4. وللقسمة |(−15)/3| = 5، ويساوي 15/3. أما القسمة على صفر فلا تدخل في هذه المقارنة.

لماذا لا تتوزع القيمة المطلقة على الجمع؟

تنص متباينة المثلث على |a+b| ≤ |a|+|b|. كما أن فرق المقدارين يحقق ||a|−|b|| ≤ |a−b|.^[4]

لنضع a=7 و b=−5. نجد |7+(−5)| = 2، بينما |7|+|−5| = 12. لذلك لا يمكن استبدال الطرف الأول بالثاني على أنه مساواة عامة.

وللمقارنة الثانية: ||7|−|−5|| = |7−5| = 2، بينما |7−(−5)| = 12. الأرقام نفسها توضح أن المسافة بين العددين تختلف عن الفرق بين مسافتيهما عن الصفر.

مجموع مسافتين وتقسيم الحالات

نقرأ |x−a| كمسافة x عن a؛ فتغير الإشارة داخل القيمة المطلقة هو الذي يحدد فروع الكتابة دون الرمزين.^[2]

لنحل مثالنا |x−1| + |x−6| = 5. إذا كان x أصغر من 1، يصبح المجموع (1−x)+(6−x) = 7−2x، ومساواته بـ 5 تعطي x=1؛ لكنها ليست في المجال x<1. لا يوجد حل داخل هذا الفرع المفتوح.

إذا كان 1 ≤ x ≤ 6، يصبح المجموع (x−1)+(6−x) = 5، مهما كان موضع x في هذه الفترة. فـ x=3.5 يعطي 2.5+2.5 = 5، كما تتحقق المعادلة عند الطرفين.

إذا كان x أكبر من 6، يكون المجموع (x−1)+(x−6) = 2x−7. الحل الجبري x=6 يقع خارج هذا الفرع المفتوح. إذن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة [1,6] كلها، وليست النقطتين 1 و 6 وحدهما.

يعرض الرسم أرضية أفقية عند 5 بين الطرفين. خارج الفترة يزداد المجموع؛ ففي x=0 يساوي 7، وفي x=7 يساوي 7. هذا تحقق عددي يربط تقسيم الحالات بمعنى المسافة.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: حل متباينات القيمة المطلقة: مجال داخلي أم مجالان خارجيان؟