استرجاع عدد المجموعة من متوسط الدمج: الحل الصحيح وحدود التقريب

ما الذي نعرفه قبل استرجاع العدد؟

نؤلف ورقة تلخص مجموعتين منفصلتين من قيم عددية، ونسميهما ألف وباء. عدد ألف ثلاثة ومتوسطها اثنا عشر، ومتوسط باء ثلاثون، أما عدد باء فخانة مفقودة. المتوسط الكلي المعلن خمسة وعشرون ونصف. جميع هذه المتوسطات دقيقة في الحالة الأولى، وكل قيمة تدخل مرة واحدة، وتستعمل القائمتان الوحدة نفسها. المطلوب عدد باء، وليس حساب متوسط جديد من عددين معلومين. لهذا نضع علامة استفهام في خانة العدد ونحتفظ بالكلي بوصفه معلومة تساعدنا على إكمالها.

المتوسط الحسابي مجموع القيم مقسومًا على عددها؛ لذلك يعيد ضرب المتوسط الدقيق في العدد مجموع مجموعة غير فارغة. [1]

في ورقتنا مجموع ألف ستة وثلاثون، لأن ثلاثة في اثني عشر تعطي هذا المقدار. لو سمينا عدد باء نونًا، لكان مجموعها ثلاثين نونًا. ومجموع القائمتين ستة وثلاثون زائد ثلاثين نونًا، وعدد القيم ثلاثة زائد نون. هذه هي المقدمة الحسابية التي نحتاجها؛ لا نعيد درس جميع اختصارات دمج المتوسطات. نكتب فوق الخانة المجهولة أنها عدد صحيح موجب، لأن الورقة تعد قيمًا منفردة في مجموعة نفترض أنها موجودة.

وتفيد كتابة الوحدة في كشف خلط الخانات: الثلاثة عدد قيم، والاثنا عشر متوسط مقاديرها، والستة والثلاثون مجموع تلك المقادير. أما المتوسط الكلي فله وحدة القيم نفسها. لا نضع خمسة وعشرين ونصف في خانة عدد القيم، ولا نستنتج أن المجموعة تضم نصف شخص أو نصف سجل. المعادلة ستعطي مرشحًا للعدد؛ وبعدها نفحص هل يناسب معنى الخانة التي طلبنا إكمالها.

نستطيع إنشاء قيم ألف تسعة واثني عشر وخمسة عشر، فتطابق عددها ومتوسطها المفروضين. لكننا لا نحتاج معرفة قائمة باء قبل حل عددها. يكفي أن نلتزم بملخصاتها الدقيقة ثم نختبر أن العدد المسترجع يعيد الكلي. اختيار هذه الورقة يجعل الفرق بين المعلوم والمجهول ملموسًا: لدينا ثلاث معلومات عن المتوسطات ومعلومة واحدة عن العدد، ونريد استنتاج عدد المجموعة الأخرى ضمن الشروط التي كتبناها.

حل المعادلة ثم أعد التعويض

نضرب خمسة وعشرين ونصف في ثلاثة زائد نون، ونساوي الناتج بستة وثلاثين زائد ثلاثين نونًا. في الطرف الأول يظهر ستة وسبعون ونصف زائد خمسة وعشرين ونصف نونًا. ننقل الحد العددي والحد الذي يحمل المجهول إلى جهتين: أربعون ونصف تساوي أربعة ونصف نونًا. قسمة الطرفين على أربعة ونصف تعطي نونًا تساوي تسعة. أبقينا الكسور الدقيقة أثناء النقل، فلم نحول خمسة وعشرين ونصف إلى ستة وعشرين قبل الحل.

ويمكن متابعة الحل من المسافتين العدديتين بين المتوسطات في هذه الورقة. الكلي أعلى من متوسط ألف بثلاثة عشر ونصف، وأقل من متوسط باء بأربعة ونصف. نسبة الفرق الأول إلى الثاني ثلاثة؛ مضروبة في عدد ألف ثلاثة تعطي تسعة. المقصود هنا فرق قيم في خط عددي، وليس مسافة رحلة أو زمنًا. يبين الرسم الأول المعطيات والفرقين والعدد الناتج، حتى يراجع القارئ اتجاه النسبة قبل ضربها.

نعيد تسعة إلى الخانة الأصلية: مجموع باء مئتان وسبعون، ومجموع القائمتين ثلاثمئة وستة، وعدد القيم اثنا عشر. قسمة ثلاثمئة وستة على اثني عشر تعيد خمسة وعشرين ونصف. هذا التعويض يفحص أن الحل وافق المعادلة التي بدأنا بها، ويكشف مثلًا خطأ قلب نسبة الفرقين. لو قلبنا ثلاثة عشر ونصف وأربعة ونصف لحصلنا على واحد بدل تسعة، ولن يعيد ذلك العدد الكلي المفروض.

ولإنشاء قائمة باء تحقق المثال، نستعمل الأعداد ثمانية عشر وواحدًا وعشرين وأربعة وعشرين وسبعة وعشرين وثلاثين وثلاثة وثلاثين وستة وثلاثين وتسعة وثلاثين واثنين وأربعين. عددها تسعة، ومجموعها مئتان وسبعون. إنشاء هذه القائمة يثبت إمكان المعطيات في المثال، لكنه لا يعني أننا استرجعنا القيم الفعلية من الملخص وحده. قائمة من تسع قيم تساوي كل منها ثلاثين تحقق الملخص نفسه أيضًا، مع اختلاف تفاصيلها.

في هذا الحل كان عدد ألف هو ما حوّل النسبة إلى عدد محدد. نكتب في خانة النتيجة «عدد باء تسعة، مع المتوسطات الدقيقة والمعطيات المذكورة»، ثم نترك قيم باء الفردية خارج ما استنتجناه. هكذا يظل مخرج المسألة محددًا: عدد تحقق بالتعويض، لا قائمة أشخاص ولا شكل توزيع افترضناه دون أن تقدمه الورقة.

هل المرشح عدد صحيح وممكن؟

نغير الكلي وحده إلى خمسة وعشرين وأربعة أعشار، ونبقي عدد ألف ثلاثة ومتوسطَي المجموعتين اثني عشر وثلاثين. الفرق الأول ثلاثة عشر وأربعة أعشار، والثاني أربعة وستة أعشار. ضرب نسبة الفرقين في ثلاثة يعطي مئتين وواحدًا على ثلاثة وعشرين، أي نحو ثمانية وسبعة أعشار. هذا كسر موجب، لكنه ليس عددًا صحيحًا. وبما أن الورقة تطلب عدد قيم منفردة ومتوسطات دقيقة، فلا يفي هذا المرشح بالمطلوب.

تقريب المرشح إلى تسعة لا يصلح المعطيات الدقيقة. فقد تحققنا أن تسعة تعيد خمسة وعشرين ونصف، لا خمسة وعشرين وأربعة أعشار. لا توجد هنا مفاضلة بين جوابين متقاربين نقبل أحدهما لأن رسمه أجمل؛ اختلاف الكلي جزء من شرط المسألة. إذا كانت الخانة في الورقة مقربة أصلًا، يمكن بحث مجالها كما سنفعل لاحقًا. أما في هذه الحالة فقد أعلنّا الدقة، فنكتب أن المعلومات لا تتفق مع عدد صحيح موجب.

ونختبر حالة ثانية يكون الكلي فيها واحدًا وثلاثين. معادلة الورقة تعطي ثلاثة في تسعة عشر، مقسومة على سالب واحد، فيظهر سالب سبعة وخمسين. لا يمثل العدد السالب مجموعة باء الموجودة التي نعد عناصرها. ونستطيع رفض الحالة قبل إكمال الحل: متوسطا المجموعتين اثنا عشر وثلاثون، والكلي واحد وثلاثون أعلى منهما معًا؛ فرضنا أن مساهمة كل مجموعة تأتي من عدد موجب، فلا يطابق هذا الكلي ورقتنا.

أما الكلي ثلاثون تمامًا فيجعل المقام صفرًا في صيغة الفرقين. وبالرجوع إلى المعادلة الأصلية يظهر تسعون زائد ثلاثين نونًا مساويًا لستة وثلاثين زائد ثلاثين نونًا، أي تسعون تساوي ستة وثلاثين. هذه مساواة مستحيلة في المثال، وليست دعوة إلى اختيار عدد كبير جدًا. مهما زدنا عدد باء المحدود تبقى لألف ثلاث قيم بمتوسط اثني عشر، فلا يعيد الحساب ثلاثين تمامًا.

وتختلف حالة الكلي اثني عشر: المعادلة تعطي عدد باء صفرًا. هذا لا يناسب فرض وجود مجموعة باء غير فارغة لها المتوسط ثلاثون. إن سمح سؤال آخر بقائمة فارغة، لاحتاج وصفًا مختلفًا لخانة متوسطها، لكننا لا نغير فرض ورقتنا بعد رؤية الصفر. الحالات الأربع تفصل أسباب الرفض: كسر غير صحيح، وعدد سالب، ومساواة مستحيلة، وصفر يخالف شرط المثال؛ ولكل منها ملاحظة محددة بدل عبارة عامة عن خطأ الحساب.

عندما لا يحدد الكلي العدد وحده

نؤلف فرعًا يكون متوسط ألف فيه عشرين، وعددها ثلاثة، ومتوسط باء عشرين، والكلي عشرين أيضًا. إذا اخترنا باء أربع قيم، صار مجموع القائمتين مئة وأربعين وعددهما سبعًا؛ وإذا اخترناها تسع قيم، صار المجموع مئتين وأربعين والعدد اثني عشر. القسمة تعيد عشرين في الحالتين. ولذلك لا يستطيع هذا الكلي أن يميز أربعة من تسعة، رغم أن كلتا الخانتين تمثل عددًا صحيحًا موجبًا.

معادلة هذا الفرع هي عشرون مضروبة في ثلاثة زائد نون، مساوية لستين زائد عشرين نونًا. الطرفان متطابقان بعد التوزيع، فلا يظهر قيد جديد على نون. لا ننفذ قسمة صفر على صفر ونسمي الناتج عدد المجموعة، بل نسجل أن المعلومة الجديدة لم تضف فرقًا يمكننا استعماله. وإذا كتبنا الكلي واحدًا وعشرين مع بقاء متوسطَي المجموعتين عشرين، فلن يتوافق مع أي عدد في هذا النموذج؛ عدم التفرد يختلف عن عدم وجود حل.

ونعود إلى متوسطَي اثني عشر وثلاثين والكلي خمسة وعشرين ونصف، لكننا نخفي عدد ألف أيضًا. معادلة الفرقين تجعل عدد باء ثلاثة أمثال عدد ألف. يمكن أن يكون العددان واحدًا وثلاثة، أو ثلاثة وتسعة، أو أربعة واثني عشر. لكل زوج مجموع وعدد مختلفان، لكن الكلي نفسه. في هذه الورقة الجديدة نسترجع نسبة عددين، ولا نسترجع مقدار أي واحد منهما دون معلومة إضافية.

لو قدمت الورقة العدد الكلي اثني عشر مع تلك النسبة، نقسمه إلى أربعة أجزاء متساوية: جزء لألف وثلاثة لباء. كل جزء ثلاث قيم، فتعود الأعداد ثلاثة وتسعة. أما إذا كان الكلي من القيم عشرًا، فلا يمكن تقسيمه إلى العددين الصحيحين المطلوبين بنسبة واحد إلى ثلاثة. المعلومة الإضافية قد تختار حلًا واحدًا، وقد تكشف تناقضًا؛ وجود خانة أخرى لا يضمن وحده أن البيانات متوافقة.

تحدد هذه الفروع ما يمكن أن تكتبه في المخرج: عدد واحد، أو نسبة فقط، أو عدة أعداد صالحة، أو لا حل. لا نضع رقمًا تقديريًا في خانة تطلب جوابًا دقيقًا لتبدو الورقة مكتملة. سبب بقاء الخانة غير محددة ظاهر في المعادلة نفسها، ويمكن للقارئ أن يعرف أي معلومة تنقصه بدل أن يعيد عملية القسمة مرات بطرق مختلفة.

حوّل المتوسط المقرب إلى مجال

في فرع التقريب نثبت عدد ألف ثلاثة ومتوسطها اثني عشر ومتوسط باء ثلاثين، لكن الورقة تعرض الكلي ستة وعشرين بعد تقريبه إلى أقرب عدد صحيح. نعلن هنا قاعدة التقريب في نموذجنا: النصف يصعد إلى العدد الأعلى. لذلك تعني الخانة أن الكلي الدقيق لا يقل عن خمسة وعشرين ونصف، ويقل عن ستة وعشرين ونصف. الطرف الأدنى يدخل المجال، والطرف الأعلى لا يدخل فيه؛ هذا الاختيار يمنع الالتباس عند الحدين.

لو عوضنا ستة وعشرين بوصفه قيمة دقيقة، لأعطت نسبة الفرقين ثلاثة في أربعة عشر على أربعة، أي عشرة ونصف. لا يناسب ذلك العدد الصحيح المطلوب، لكنه لا يثبت استحالة الخانة المقربة. فالورقة لم تقل إن الكلي الدقيق ستة وعشرون. المطلوب هذه المرة جميع الأعداد الصحيحة التي تقع نتائجها داخل المجال المعلن، لا العدد الذي يحل مساواة استبدلنا بها مجالًا دون مسوغ.

عند الحد الأدنى خمسة وعشرين ونصف يعيد الحل تسعة. وعند الحد الأعلى ستة وعشرين ونصف يعيد ثلاثة في أربعة عشر ونصف على ثلاثة ونصف، أي سبعة وثمانين على سبعة. نستعمل الحدين بوصفهما حدودًا للعدد: باء لا تقل عن تسعة وتقل عن سبعة وثمانين على سبعة. الأعداد الصحيحة التي تحقق ذلك هي تسعة وعشرة وأحد عشر واثنا عشر. أما ثلاثة عشر فأكبر من الحد الأعلى، فلا يدخل مجموعة المرشحين.

وللتحقق من اتجاه الحدود نكتب متوسط الورقة في صورة ثلاثين ناقص أربعة وخمسين على ثلاثة زائد نون. كلما زادت نون الموجبة كبر المقام وصغرت الكمية المطروحة، فزاد الكلي نحو الثلاثين. لهذا تنتقل النهاية الأدنى للكلي إلى العدد الأدنى، دون قلب ترتيب المرشحين. هذه قراءة جبرية للمثال المعين، وليست قاعدة لنقل أي حدود كيفما كانت أرقام المجموعتين أو ترتيب متوسطيهما.

يعرض الرسم الثاني أربعة أعداد صالحة مع متوسطاتها الدقيقة، وعددين مجاورين مرفوضين. النقاط حالات مستقلة لا رحلة زمنية؛ المحور الأفقي يعد قيم باء، والرأسي يبين كلي الورقة. المجال الملون يستعمل الحدين اللذين أعلنّاهما، ونميز المرشح الصالح بنص إضافي حتى لا تكون الألوان وحدها سبب فهمه. الرسمان يشرحان سؤال الاسترجاع، لا تجميع متوسطين من عددين معروفين سلفًا.

اختبر المرشحين ودقة العرض

عدد باء تسعة يعطي الكلي واحدًا وخمسين على اثنين، أي خمسة وعشرين ونصف، فيصعد إلى ستة وعشرين بالقاعدة التي اخترناها. وعشرة تعطي ثلاثمئة وستة وثلاثين على ثلاثة عشر، نحو خمسة وعشرين وثمانية أعشار. وأحد عشر تعطي مئة وثلاثة وثمانين على سبعة، نحو ستة وعشرين وعشر. واثنا عشر تعطي مئة واثنين وثلاثين على خمسة، أي ستة وعشرين وأربعة أعشار. الأربعة تقرب إلى الخانة نفسها، مع اختلاف الكسور الدقيقة.

نفحص الجارين أيضًا: ثمانية تعطي مئتين وستة وسبعين على أحد عشر، نحو خمسة وعشرين وعشر، فتقرب إلى خمسة وعشرين. وثلاثة عشر تعطي مئتين وثلاثة عشر على ثمانية، أي ستة وعشرين وخمسة أثمان، فتقرب إلى سبعة وعشرين. هذان الفحصان يطابقان الحدود المستخرجة، ويمنعان الاكتفاء بتجربة عشرة وأحد عشر ثم وصفهما بأنهما الاحتمالان الوحيدان. حل المجال هو ما أكمل حصر القائمة.

لنغير دقة الورقة إلى منزلة عشرية واحدة ونقرأ خمسة وعشرين ونصف. وفق قاعدة النصف التي أعلنّاها يكون الكلي الدقيق من خمسة وعشرين وخمسة وأربعين جزءًا من مئة، إلى ما دون خمسة وعشرين وخمسة وخمسين جزءًا من مئة. تحويل الطرفين يعطي حدًا أدنى ثمانمئة وسبعة على واحد وتسعين، وحدًا أعلى ثمانمئة وثلاثة عشر على تسعة وثمانين. الأول أقل من تسعة والثاني أكبر منها، ولا يوجد عدد صحيح آخر بينهما.

إذن كانت هذه الخانة المقربة كافية لاختيار تسعة في المثال، مع أنها لم تكن مساواة دقيقة منذ البداية. هذا يبين لماذا لا نحكم أن كل تقريب يضيع التفرد حتمًا، ولا أن كل خانة عشرية تسمح باسترجاع عدد واحد. نبحث الأعداد الصحيحة داخل مجال الخانة المحدد. الفرق بين عرض ستة وعشرين وعرض خمسة وعشرين ونصف هنا ليس إضافة رمزية إلى الجواب؛ إنه تضييق فعلي لمجموعة الحلول.

وتظل دقة متوسطَي المجموعتين شرطًا في الفرعين. لم نقرب الاثني عشر والثلاثين؛ لذلك استعملناهما في بناء كل كسر. إن كانت هاتان الخانتان مقربتين أيضًا، فلا تفي المجالات التي حسبناها للكلي وحده بحصر الاحتمالات الجديدة. نحتاج حدود كل خانة قبل تكرار الاختبار. لا نستبدل ذلك النقص في المعطيات بزيادة المنازل في الآلة، لأن الحساب الدقيق لأرقام معروضة لا يكشف أرقامًا لم تعرضها الورقة.

معلومة إضافية وحسم الحالات

نعود إلى الورقة التي تقرب الكلي إلى ستة وعشرين، ومرشحو باء فيها تسعة وعشرة وأحد عشر واثنا عشر. لو أضيف أن عدد باء لا يزيد على عشرة، يبقى تسعة وعشرة فقط. هذا القيد يضيق القائمة لكنه لا يجعل الحل وحيدًا. ولو أضيف أن عدد جميع القيم أربعة عشر، مع بقاء ألف ثلاثًا، يصبح عدد باء أحد عشر؛ نراجع كليه مئة وثلاثة وثمانين على سبعة للتأكد من مطابقته للخانة المقربة.

أما إذا كانت الخانة الإضافية عدد الكل إحدى عشرة قيمة، فعدد باء ثمانية، وهو خارج قائمة المرشحين. عندئذ نكتب أن القيدين لا يتوافقان في المثال، بدل اختيار أحد عشر لأنه ظهر في قائمة أخرى. العدد الكلي وعدد باء خانتان مختلفتان، وتبادل اسميهما كفيل بصنع جواب يبدو صحيحًا عدديًا لكنه يجيب عن سؤال آخر. يمكن رسم تقاطع قائمتين للمرشحين في ورقة صغيرة قبل اتخاذ القرار.

وتتيح حالة أخرى مراجعة مجموع مسترجع دون إعادة القائمة كلها: إذا قيل إن مجموع باء ثلاثمئة وثلاثون، مع متوسطها الدقيق ثلاثين، فإن عددها أحد عشر. نعيد هذا العدد إلى معادلة الكلي ونفحص التقريب كما فعلنا. لم تقدم المعلومة قيم باء الفردية، لكنها قدمت قيدًا كافيًا للعدد. هذا فرع من سؤال الاسترجاع نفسه، وتظل فائدته مرتبطة بدقة المتوسط والمجموع المعطيين.

قبل تسليم حل جديد اكتب المعلوم الدقيق في خانة، والمعروض المقرب وحدوده في أخرى. استخرج مرشحي العدد، ثم استبعد ما يخالف الصحيح الموجب أو بقية القيود، وأعد التعويض في الملخصات الأصلية. النتيجة النهائية تسمّي ما بقي فعلًا: تسعة في الورقة الدقيقة، أو أربعة مرشحين في خانة ستة وعشرين، أو أحد عشر بعد قيد العدد الكلي أربعة عشر. إذا بقي أكثر من عدد، فالقائمة هي الجواب الذي وفرت له البيانات سببًا.