النرد غير المتعدي: كيف يفوز كل حجر على حجر آخر؟

في النرد غير المتعدي، قد تكون لكل حجر فرصة أكبر في التغلب على حجر معين، مع وجود حجر آخر يتغلب عليه هو. تقدم جامعة كامبريدج هذا النوع من الألعاب لتدريب القارئ على فضاء النتائج والمقارنات الزوجية. [1]

سنحسب مثالًا بثلاثة أحجار نسميها أ وب وج. لا نحتاج إلى رميات تجريبية لإثبات النتيجة: نعدّ جميع أزواج الأوجه الممكنة، ثم نراجع الحساب ببرنامج قصير. الأرقام والجداول التالية مثال حسابي أُعدّ لهذا المقال، وليست نتائج تجربة مادية.

ما الذي نثبته قبل العد؟

لكل حجر ستة أوجه مرقمة كما في الجدول. نفترض أن احتمال كل وجه هو 1/6، وأن نتيجة رمي حجر لا تؤثر في نتيجة الآخر. الأعلى يفوز؛ ولا توجد نتيجة تعادل بين حجرين مختلفين هنا، لأن مجموعات أرقامهما لا تتقاطع.

هناك 6×6=36 زوجًا مرتبًا من الأوجه عند مقارنة حجرين. مثلًا، الوجه الأول الذي يحمل 1 في أ يختلف عن الوجه الثاني الذي يحمل 1 بوصفه ناتجًا في فضاء الأوجه، وإن تساوت القيمتان المكتوبتان. كل خانة في جدول الأوجه احتمالها 1/36 تحت افتراضاتنا.

احسب المواجهات الثلاث

أمام ب، يكسب أ كلما ظهر 5، ويخسر كلما ظهر 1. أربعة أوجه رابحة من ستة تعطي 4/6=2/3. وبالعد الكامل، كل واحد من الأوجه الأربعة يهزم أوجه ب الستة: 4×6=24 خانة رابحة.

أمام ج، يكسب ب ذو الرقم الثابت 3 عندما يظهر 2 على ج. يوجد أربعة أوجه كهذه، لذلك فرصة ب أيضًا 2/3. أما ظهور 6 على ج فيجعله الفائز، واحتماله 1/3.

المواجهة التي تغلق الدورة هي ج أمام أ. لكل واحد من أوجه ج الأربعة ذات الرقم 2 وجهان يهزمهما في أ، وهما وجها الرقم 1: لدينا 4×2=8 خانات. وكل واحد من وجهي ج ذات الرقم 6 يهزم أوجه أ الستة: 2×6=12 خانة. المجموع 20، ومن ثم P(ج>أ)=20/36=5/9، أي نحو 55.56%.

يمكن مراجعة الجدول سريعًا: كل خانتين متقابلتين حول القطر تجمعان إلى 1، لأن كل مواجهة هنا تنتهي بفوز أحد الحجرين دون تعادل. الشرطة على القطر تعني أن مقارنة نسختين من الحجر نفسه ليست موضوع جدول الاختيار؛ ولا تعني أن احتمال الفوز صفر.

لماذا لا يخالف ذلك ترتيب الأعداد؟

علاقة «أكبر من» بين الأعداد متعدية: إذا كان عدد أكبر من ثانٍ، والثاني أكبر من ثالث، فالأول أكبر من الثالث. لكن علاقة «أكثر احتمالًا للفوز» بين متغيرات عشوائية ليست العلاقة العددية نفسها، وقد تصنع دورة. [2]

في مثالنا لا نقول إن رقمًا واحدًا يحقق a>b>c>a. أ تارةً يخرج 1 وتارةً يخرج 5، وج تارةً يخرج 2 وتارةً يخرج 6. نحن نقارن نسبًا محسوبة على نتائج متعددة، لا سلسلة متناقضة من الأعداد الثابتة.

ومتوسط أ، وهو 11/3، أكبر من متوسط ج 10/3، مع أن ج يفوز في 5/9 من المواجهات. السبب ظاهر في الأوجه: مقدار الفرق في كل فوز يدخل حساب متوسط الرقم، بينما جدول الفوز يحسب كل انتصار مرة واحدة، سواء كان بفارق واحد أو خمسة.

الاختيار الثاني يعطي أفضلية، لا ضمانًا

إذا اختار الطرف الأول أ، فاختر ج؛ وإذا اختار ب، فاختر أ؛ وإذا اختار ج، فاختر ب. أضعف أفضلية في هذه الاستجابة هي 5/9، وهي أكبر من النصف. لكن الاختيار يعتمد على معرفة حجر المنافس قبل اختيارك، وعلى التزام الطرفين بالأوجه والقاعدة المعلنة.

قد يخسر أ أمام ب ثلاث مرات متتالية. مع استقلال الجولات، احتمال ذلك (1/3)³=1/27. لا يدحض تسلسل قصير كهذا حساب 2/3؛ فهو نتيجة يسمح بها النموذج. كذلك لا تضمن أفضلية ج أمام أ الفوز في المباراة المقبلة، مهما كانت نتائج الجولات السابقة.

تحقق من المثال ببايثون

يعدّ البرنامج التالي أزواج الأوجه مباشرة، ويطبع كسرًا دقيقًا بدل تقريب نسبة مئوية. تكرار الأرقام في القوائم مقصود؛ لا تستبدلها بمجموعات set.

from fractions import Fraction
A = [1, 1, 5, 5, 5, 5]
B = [3, 3, 3, 3, 3, 3]
C = [2, 2, 2, 2, 6, 6]
def win_chance(left, right):
    wins = sum(x > y for x in left for y in right)
    return Fraction(wins, len(left) * len(right))
print(win_chance(A, B))  # 2/3
print(win_chance(B, C))  # 2/3
print(win_chance(C, A))  # 5/9

نُفّذ التحقق المصاحب على بايثون 3.12.14 باستخدام الكسور الدقيقة. راجع 324 زوج أوجه عبر المقارنات التسع، منها المقارنات الذاتية، وفحص أن عدد الفوز والتعادل والخسارة يساوي 36 في كل جدول. هذه مراجعة حسابية؛ لم نختبر اتزان أحجار مصنوعة.

لرؤية خطأ حذف التكرار، قارن القائمتين المختزلتين [1,5] و[2,6] مع إعطاء كل عنصر فرصة متساوية. عندها يفوز أ في حالة واحدة من أربع، أي 1/4، بدل الاحتمال الصحيح 4/9. تغيرت أوزان النتائج عندما حذفت الأوجه، ولذلك تغير جواب السؤال.

كيف تحول الحساب إلى نشاط قابل للتسجيل؟

يمكن للقارئ تجربة اختيار رقم من قائمة الأوجه بواسطة نرد سداسي عادي: الوجه الظاهر يحدد الموضع من واحد إلى ستة، ثم يقرأ الرقم المقابل في قائمة أ أو ب أو ج. تسجّل لكل جولة رقم الموضع والقيمة الناتجة والفائز، وتحدد عدد الجولات قبل البدء. هذا اقتراح لنشاط، وليس وصفًا لتجربة أجريناها.

ابدأ بمواجهة واحدة، مثل ج أمام أ، واحتفظ بالتكرارات كما هي. افصل بين نسبة الفوز المشاهدة، وهي عدد انتصارات ج مقسومًا على عدد الجولات، وبين 5/9 المحسوبة تحت افتراض التساوي والاستقلال. إن أردت اختبار حجر مادي نفسه فذلك سؤال آخر؛ شكل الجدول لا يثبت أن أوجهه متساوية الاحتمال.

للتوسع في استخدام النرد لاختيار بدائل متساوية، اقرأ اختيار أربعة خيارات بنرد سداسي؛ يتناول قاعدة رفض النتائج الزائدة، بينما المقارنة هنا بين توزيعات مختلفة ومعلنة.