أنماط مواريه: تجربة شبكتين تكشف أثر الزاوية والتباعد

تظهر أنماط مواريه عند تراكب نمطين دوريّين مع اختلاف في المحاذاة. يشرح نشاط إكسبلوراتوريوم كيف تصنع مناطق الحجب والنفاذ أشرطة أوسع من خطوط الشبكتين. [1]

سنستخدم شبكتين بسيطتين، في كل منهما عائلة واحدة من الخطوط المتوازية. الهدف حساب المسافة بين الأشرطة الواسعة، ثم فصل أثر دوران الشبكة عن أثر اختلاف تباعد خطوطها. الأرقام الآتية ناتجة من نموذج نفذناه، ولم نجر تجربة طباعة فعلية.

الخلاصة السريعة

• سمِّ تباعد الخطوط الدقيقة p، وتباعد الأشرطة الواسعة M؛ إنهما مسافتان مختلفتان.
• في نموذجنا المتوازي: M = p₁p₂ / |p₂ − p₁|.
• عند تساوي التباعد وتدوير إحدى الشبكتين: M = p / [2 sin(θ/2)]، مقاسًا عموديًا على الأشرطة الواسعة.
• المثالان p₁ = 1 mm وp₂ = 1.1 mm يعطيان دورة فرق مقدارها 11 mm.
• اختبار الحساب شمل عشر حالات وخمسين نقطة، مع 160 تحققًا ناجحًا. هذه اختبارات للنموذج، وليست قياسات لإدراك العين.

ابدأ بتحديد المسافة التي تقيسها

إذا رسمت أحد عشر خطًا من الموضع صفر إلى الموضع عشرة ميليمترات، فبينها عشر فترات لا إحدى عشرة. هذا التفصيل يكفي لإفساد مقارنة دقيقة إذا قُسم الطول على عدد الخطوط. اختر مركزي خطين متجاورين لتعريف الفترة، واحتفظ بعرض الخط نفسه في الورقتين. عرض الخط يؤثر في مقدار الحجب، لكنه لا يحل محل المسافة من مركز إلى مركز في معادلتنا.

نمثل الشبكة الأولى بعدّ الدورات x/p₁. عند x = p₁ أتممت دورة، وعند x = p₁/2 قطعت نصفها. للشبكة الثانية عدّ آخر هو x/p₂. ما نريد تعقبه هو الفرق بين هذين العدّين، لا عدد الخطوط في كل شبكة منفردة.

شبكتان متوازيتان: متى يتكرر فرق الموضع؟

يستعمل معرض «نبضات السياج» سياجين مختلفي التباعد قليلًا: تتقدم المحاذاة إلى اختلاف ثم تعود، فتُرى أشرطة مواريه. [2]

في حسابنا يكون فرق الدورات Δ(x) = x(1/p₁ − 1/p₂). نطلب المسافة التي تغير هذا الفرق بدورة واحدة كاملة. لذلك نحُل M |1/p₁ − 1/p₂| = 1، فنحصل على صيغة الملخص. المقصود دورية فرق الطور؛ ليس مطلوبًا في الحالة العامة أن تعود الشبكتان معًا إلى الحالة الابتدائية بكل تفاصيل الخطوط الدقيقة.

اخترنا حالة يسهل عدها مباشرة: 1 و1.1 ميليمتر. عند الموضع 11 تكون الأولى قد أكملت إحدى عشرة فترة والثانية عشر فترات. الفرق واحد. هذه أيضًا عودة فعلية للمحاذاة في هذا المثال ذي النسبة النسبية البسيطة؛ لا نحتاج تقريبًا بصريًا لإثباتها.

إذا قللنا الفترة الثانية إلى 1.05 ميليمتر أصبح الفرق أبطأ وتباعد الأشرطة 21 ميليمتر. وإذا رفعناها إلى 1.2 ميليمتر انخفض التباعد إلى 6 ميليمترات. الأرقام توضح لماذا قد تكبر العلامة الواسعة حين يصغر الاختلاف الذي يصنعها. عند التطابق التام يصبح فرق الدورات ثابتًا، فلا توجد له دورة مكانية محدودة نحسبها بالقسمة على صفر.

ماذا يضيف دوران إحدى الشبكتين؟

لتكن الخطوط الأولى عمودية، فتتغير دوراتها مع x. بعد تدوير الشبكة الثانية بزاوية θ يصبح عدّها (x cosθ + y sinθ)/p₂. طرح العدّين يعطينا معاملين: gₓ = 1/p₁ − cosθ/p₂ وgᵧ = −sinθ/p₂. الاتجاه g = (gₓ,gᵧ) هو اتجاه زيادة فرق الدورات بأسرع معدل.

نقيس دورة الفرق في اتجاه g، أي عموديًا على خطوط الفرق الثابت. طولها M = 1/√(gₓ² + gᵧ²). إذا كان p₁ = p₂ = p، فإن مربع المقام يساوي [2 − 2cosθ]/p². باستعمال 1 − cosθ = 2sin²(θ/2) نحصل على صيغة الزاوية في الملخص، للزوايا الموجبة الصغيرة المستخدمة هنا.

هذا التحديد للاتجاه ضروري: قياس مسافة على محور أفقي يقطع الأشرطة بميل قد يعطي قيمة أكبر، أو لا يعبر شريطًا آخر داخل الرسم أصلًا. ضع المسطرة عموديًا على الأشرطة الواسعة، لا عموديًا على الخطوط الدقيقة لمجرد أنها أسهل رؤية.

اختبار المعادلة بدل الاكتفاء بشكل جذاب

في التنفيذ حسبنا الاتجاه g أولًا، ثم تحركنا بمقدار M في اتجاهه. عند خمس نقاط مختلفة في كل حالة تحقّقنا من أن فرق الدورات يزيد بواحد. تحركنا أيضًا المسافة نفسها في الاتجاه العمودي عليه؛ بقي الفرق ثابتًا. وأكدنا عودة جيب تمام فرق الطور إلى قيمته السابقة. شملت الحالات فترات مختلفة وزوايا مختلفة، ثم قارنا الحالات الخاصة بصيغتي التوازي والتساوي.

from math import cos, sin, radians, hypot

def period(p1, p2, angle_degrees):
    t = radians(angle_degrees)
    gx = 1 / p1 - cos(t) / p2
    gy = -sin(t) / p2
    size = hypot(gx, gy)
    return None if size < 1e-14 else 1 / size

print(round(period(1, 1.1, 0), 3))  # 11.0
print(round(period(1, 1, 5), 3))    # 11.463

يفترض هذا المقتطف فترتين موجبتين وبالوحدة نفسها. سماحية الصفر حيلة عددية لهذا النطاق الصغير؛ ليست تعريفًا فيزيائيًا لاختفاء النمط. لإيضاح سبب ظهور حد الفرق في نموذج رمادي، يمكن ضرب نفاذيتين من الشكل (1 + cosφ)/2. تعطي هوية ضرب جيبي التمام حدًا يحتوي cos(φ₁ − φ₂)، إلى جانب حدود أخرى. حسبنا دورية هذا الحد البطيء، ولم نزعم أن كل تفاصيل صورة شبكتين معتمتين تختزل فيه.

خطة قياس ينجزها القارئ

يقترح نشاط إكسبلوراتوريوم تحريك شبكتين أو تدوير إحداهما لملاحظة تغير النمط. وإذا استُخدمت الطباعة على الشفافيات، يلزم اختيار مادة متوافقة مع الطابعة. [1]

للمقارنة مع أرقامنا، ابدأ بتباعد مقاس فعليًا قدره ميليمتر واحد، لا بمجرد قيمة وضعتها في برنامج الرسم. تحقق من أن إعداد الطباعة لم يغيّر الحجم. ثبّت الطبقتين متقاربتين وانظر إليهما من الاتجاه نفسه في كل قراءة. قارن زاويتين، وسجل المسافة عبر عدة أهداب ثم اقسمها على عدد الفترات بينها. إذا كانت المنطقة المرئية لا تحتوي إلا شريطًا واحدًا فلن تحصل على قياس جيد لدورية طويلة.

ضع في سجلك أربع خانات: الفترة الفعلية لكل شبكة، زاوية الدوران، التباعد المقاس، والتباعد المتوقع. إن اختلفا فافحص أولًا اتجاه القياس وتكبير الطباعة. وقد تدخل تغييرات المنظور أو انحناء الورقة، بينما نموذجنا يفترض شبكتين مستويتين منتظمتين في إحداثيات مشتركة. تصغير صورة الخطوط على شاشة قد يضيف نمطًا من أخذ العينات، لذلك لا تستخرج قياسًا ميليمترِيًا من صورة مصغرة.

لدينا هنا حساب مكاني للخطوط. للمقارنة مع سؤال مختلف عن أخذ العينات اقرأ الطي الترددي وتطابق العينات، ولتمييز تجربة الشقوق المضيئة راجع الحيود والتداخل. تشغيل نموذجنا لا يحتاج مصدرين ضوئيين مترابطين؛ مدخلاته هي مواضع خطوط وشدة حجب مثالية.

المصادر

1. Exploratorium — Moire Patterns
2. Exploratorium — Picket Fence Beats

الرسوم والأمثلة والحسابات أُعدت لهذا المقال. الاختبارات عددية، ولم تُجر تجربة طباعة فعلية. أُعد النص بمساعدة الذكاء الاصطناعي؛ لا يُنسب إلى خبير بشري مستقل.