رنين الإزاحة والسرعة قد يحدث عند ترددين مختلفين في النموذج المخمّد. [1]
الخلاصة السريعة
قمة الإزاحة تتغير مع التخميد؛ قمة سعة السرعة تبقى عند التردد الطبيعي في النموذج المحدد. [2]
- نقارن الاستجابة المستقرة بعد زوال الحركة العابرة لكتلة أفقية m ونابض خطي ثابتُه k، مع قوة تخميد −b dx/dt وإثارة F0cos(ωt). نثبت m وk وb وF0>0 ونغير ω>0؛ m وk وb موجبة. [1]
- نعرف ω0=√(k/m) وβ=b/(2m). إذا كان x إزاحة بالمتر، فسعتها A=(F0/m)/√D، حيث D=(ω0²−ω²)²+4β²ω². ω وω0 بالراديان لكل ثانية وβ بوحدة s⁻¹. هذه سعة الحركة المستقرة، لا أكبر إزاحة أثناء البدء. [1]
- تصغير D يعطي تردد قمة الإزاحة ωx=√(ω0²−2β²)، بشرط β<ω0/√2. إذا β≥ω0/√2، فلا قمة عند تردد موجب: تتناقص A وأكبر حد لها عند اقتراب ω من الصفر هو F0/k. هذه نتيجة تفاضل المعادلة، وليست افتراضًا أن كل قمة عند ω0. [1]
- من اشتقاق الإزاحة الجيبية، سعة السرعة U=ωA. بوضع C=F0/m وE=(ω0²/ω−ω)²+4β² يصبح U²=C²/E. أصغر E عند ω=ω0 لأن المربع ينعدم؛ إذن Umax=F0/b. ينطبق هذا حتى عندما تختفي قمة الإزاحة الموجبة. [2]
- مثال مفترض m=1kg وk=100N/m وb=6N·s/m وF0=1N: ω0=10rad/s وβ=3s⁻¹. عند ωx≈9.055rad/s تكون A≈0.017471m وU≈0.158210m/s؛ وعند ω=10rad/s تكون A≈0.016667m وU≈0.166667m/s. هذه أرقام حسابية مقربة. [2]
- قارن السعتين كلًّا بوحدتها، ولا تقارن ارتفاع منحنى بالمتر بآخر بالمتر لكل ثانية. kg كيلوجرام وN نيوتن وs ثانية؛ rad راديان. ω تردد زاوي، وليس عدد الدورات لكل ثانية. النتيجة مشروطة بتخميد خطي وإثارة ذات سعة ثابتة؛ تغييرهما يغير المقارنة. [2]
ثبت نموذج الإثارة
نقارن الاستجابة المستقرة بعد زوال الحركة العابرة لكتلة أفقية m ونابض خطي ثابتُه k، مع قوة تخميد −b dx/dt وإثارة F0cos(ωt). نثبت m وk وb وF0>0 ونغير ω>0؛ m وk وb موجبة. [1]
احسب سعة الإزاحة
نعرف ω0=√(k/m) وβ=b/(2m). إذا كان x إزاحة بالمتر، فسعتها A=(F0/m)/√D، حيث D=(ω0²−ω²)²+4β²ω². ω وω0 بالراديان لكل ثانية وβ بوحدة s⁻¹. هذه سعة الحركة المستقرة، لا أكبر إزاحة أثناء البدء. [1]
حدد متى توجد قمة الإزاحة
تصغير D يعطي تردد قمة الإزاحة ωx=√(ω0²−2β²)، بشرط β<ω0/√2. إذا β≥ω0/√2، فلا قمة عند تردد موجب: تتناقص A وأكبر حد لها عند اقتراب ω من الصفر هو F0/k. هذه نتيجة تفاضل المعادلة، وليست افتراضًا أن كل قمة عند ω0. [1]
استخرج قمة سعة السرعة
من اشتقاق الإزاحة الجيبية، سعة السرعة U=ωA. بوضع C=F0/m وE=(ω0²/ω−ω)²+4β² يصبح U²=C²/E. أصغر E عند ω=ω0 لأن المربع ينعدم؛ إذن Umax=F0/b. ينطبق هذا حتى عندما تختفي قمة الإزاحة الموجبة. [2]
قارن الترددين في مثال
مثال مفترض m=1kg وk=100N/m وb=6N·s/m وF0=1N: ω0=10rad/s وβ=3s⁻¹. عند ωx≈9.055rad/s تكون A≈0.017471m وU≈0.158210m/s؛ وعند ω=10rad/s تكون A≈0.016667m وU≈0.166667m/s. هذه أرقام حسابية مقربة. [2]
اقرأ الوحدات وشروط المقارنة
قارن السعتين كلًّا بوحدتها، ولا تقارن ارتفاع منحنى بالمتر بآخر بالمتر لكل ثانية. kg كيلوجرام وN نيوتن وs ثانية؛ rad راديان. ω تردد زاوي، وليس عدد الدورات لكل ثانية. النتيجة مشروطة بتخميد خطي وإثارة ذات سعة ثابتة؛ تغييرهما يغير المقارنة. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.