ظاهرة الرنين الميكانيكي هي ازدياد الاستجابة لقوة دورية قرب تردد معين. في نموذج كتلة ونابض بتخميد ضعيف، تكون قمة سعة الإزاحة قريبة من التردد الطبيعي غير المخمد. [1][2]
التردد الطبيعي والتردد المؤثر ليسا اسمين لشيء واحد
إذا أزحنا كتلة موصولة بنابض ثم تركناها، ظهر اهتزاز حر. في النموذج المثالي من دون مقاومة، يتحدد تردده الطبيعي بكتلة الجسم وصلابة النابض: f₀=(1/2π)√(k/m). لا نختار هذا التردد بمجرد تغيير سرعة يد تدفع الجسم؛ إنه خاصية لهذا النموذج ومعلماته. [3]
بعد زوال العابر، تتبع الحركة تردد القوة الخارجية؛ وتتوقف السعة على التردد والتخميد. [1][2]
الرنين في الاهتزازات القسرية: لماذا تظهر القمة؟
ندرس الإزاحة مقابل تردد القوة بثبات شدة القوة ومعلمات النظام؛ القمة تخص السعة وليس التردد الأقصى. [1]
لمقاومة متناسبة مع السرعة بمعامل b، يكون تردد القمة ωpeak=√(ω₀²−b²/(2m²)) إذا كان ما تحت الجذر موجبًا. لذلك لا تساوي القمة التردد الطبيعي غير المخمد دائمًا. [1]
تأثير التخميد على الرنين وقراءة المنحنى
التخميد يبدد الطاقة. مع استمرار القوة الدورية وتخميد موجب، تكون السعة المستقرة محدودة؛ التخميد الأقل يعطي قمة أضيق وأعلى. [1][2]
نقسم تردد القوة على الطبيعي، والسعة على الإزاحة الساكنة F₀/k. لقيمتي تخميد 0.08 و 0.28، نحسب قمتين قرب 0.994 و 0.918؛ بقية المعلمات ثابتة في الرسم. [1]
هذا نموذج خطي ذو كتلة واحدة؛ لا يثبت سلوك أرجوحة أو مبنى، ولا أن كل رنين يسبب كسرًا.
مثال: تردد نظام كتلة ونابض
لنأخذ كتلة 0.25 كغ ونابضًا ثابت مرونته 100 نيوتن/متر، مع إهمال التخميد عند حساب التردد الطبيعي. نحصل على √(k/m)=√(100/0.25)=20 rad/s، ثم f₀=20/(2π)≈3.18 Hz. الزمن الدوري T₀=1/f₀≈0.314 s. هذا تردد طبيعي، وليس شرطًا لتردد أي قوة نطبقها. [3]
إذا صارت الكتلة 1 كغ مع النابض نفسه، تصبح السرعة الزاوية الطبيعية 10 راديان/ثانية، والتردد نحو 1.59 هرتز؛ زيادة الكتلة أربعة أمثال خفضت التردد إلى النصف. أما السعة فلا نستخرجها من هذين العددين وحدهما: نحتاج إلى القوة والتخميد وتردد المؤثر. [1][3]
مثال على تغير السعة مع تردد القوة
| نسبة التردد ω/ω₀ | السعة النسبية عند ζ=0.08 | السعة النسبية عند ζ=0.28 |
|---|---|---|
| 0.5 | 1.33 | 1.25 |
| 1 | 6.25 | 1.79 |
| 1.5 | 0.79 | 0.66 |
الاستجابة غير المخمدة عند الإثارة المطابقة حالة مثالية خاصة. المنحنيان هنا يحتويان تخميدًا موجبًا وقممًا محدودة. الجدول محسوب من علاقة السعة نفسها: عند نسبة تردد 1 مثلًا، نحصل على 6.25 و 1.79 تقريبًا لقيمتي التخميد. [1][2]
المصادر ومتابعة القراءة
- MIT: الاهتزاز القسري المخمد ومعادلة السعة وموضع القمة، الفصل 23 (يفتح في نافذة جديدة)ocw.mit.edu
- OpenStax: القوة الدورية والاهتزازات القسرية والتخميد (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: تردد نظام الكتلة والنابض والزمن الدوري (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.