قانون التسارع: التغير في السرعة والإشارة والمتوسط

حدد المحور والسرعتين قبل القسمة

قانون التسارع يصف تغير السرعة المتجهة، لكنه لا يجعل كل قيمة موجبة زيادة في مقدار السرعة، ولا يجعل كل قيمة سالبة تباطؤًا. سنختار محورًا واضحًا، ونحسب فترات من سرعات موقعة، ثم نتتبع مثالًا يتوقف فيه الجسم لحظة ويعكس اتجاهه مع تسارع ثابت موجب. نميز أيضًا المتوسط من اللحظي، ونربط التسارع بالإزاحة أو محصلة القوى عندما تسمح المعطيات. الأعداد والرسوم التالية نماذج أصلية مؤلفة، وليست قياسات مركبة أو تجربة حركة؛ الغاية أن تختار العلاقة الصحيحة وتحافظ على شرطها وإشارتها ووحدتها.

نختار اليمين جهة موجبة ونصف الحركة على محور واحد في إطار معلوم. مركبة سرعة موجبة اثنين تعني حركة في الجهة الموجبة بمقدار مترين لكل ثانية، بينما سالب اثنين يعني المقدار نفسه في الجهة المعاكسة. الإشارة ليست علامة صحة أو خطأ في القياس. إذا غيرت اتفاق الاتجاه الموجب لاحقًا، وجب تغيير قراءة الإشارات معه بدل نقلها إلى محور جديد دون بيان.

نعطي مثال البداية v_i=+2 m/s والنهاية v_f=+14 m/s، خلال مدة أربع ثوان. الفرق 14-2=12 m/s. لا نبدأ من الأربعة عشر كأن الجسم كان ساكنًا، لأن البطاقة أعطتنا سرعة أولية غير صفرية. ويمكن أن تكون السرعتان مقاستين أو مفترضتين في مسألة؛ ما يهم الحساب أن نعرف قيمتيهما والزمنين المقابلين والإطار الذي يعنيانه.

في الأمثلة سنعطي معلومات إضافية عندما نريد وصفًا داخل الفترة، مثل ثبات التسارع. أما وجود قيمتين عند الطرفين فيكفي لحساب المتوسط، ولا يعطينا وحده كل شكل المنحنى بينهما. احتفظ بهذا الفرق في بطاقة الحل: ما الذي تعلمه من المعطيات مباشرة، وما الذي يتطلب شرطًا إضافيًا؟ تسمية المتوسط تحفظ معنى القسمة حتى إذا لم تكن الحركة منتظمة في كل ثانية.

فرق الزمن ليس قراءة الساعة الأخيرة

يمكن تسجيل المثال عند ثانية خامسة وثانية تاسعة بدل بدء الساعة من الصفر. تصبح المدة 9-5=4 s، والمتوسط (14-2)/(9-5)=3 m/s². لا نقسم فرق السرعتين على التسعة؛ فهي وقت النهاية على ساعة اخترنا أصلها، وليست المدة بين التسجيلين. تغيير أصل عد الزمن لا ينبغي أن يغير النتيجة ما دامت الفترة الفيزيائية نفسها.

وفي نسخة تسجل البداية عند الصفر والنهاية عند أربعة، تحصل على المدة نفسها والتسارع نفسه. لكنك لا تخلط ثانية خامسة من النسخة الأولى بثانية رابعة من الثانية؛ بذلك أدخلت تسجيلين من مرجعين زمنيين مختلفين. عندما تصل بطاقة فيها وقتان، اكتب فرق النهاية والبداية في سطر مستقل، ثم استخدمه مع فرق السرعة المطابق لهما بدل التخمين من اسم آخر عمود.

وللفحص العكسي في نموذجنا، 3 m/s² × 4 s = 12 m/s. إضافة هذا الفرق إلى السرعة الابتدائية تعيد 2+12=14 m/s. الفحص لا يثبت ثبات التسارع داخل الفترة إذا بدأنا بمتوسط فقط؛ إنه يثبت توافق المتوسط مع طرفيها. وإذا أعاد الفحص رقمًا آخر، فراجع المدة أو ترتيب طرح السرعتين أو الوحدة قبل إضافة تفسير حركي لم تتضمنه البطاقة.

الوحدة: متر لكل ثانية في كل ثانية

في الحساب السابق نقسم فرقًا بوحدة متر لكل ثانية على مدة بالثانية، فتخرج (m/s)/s=m/s². لا نخلطها بوحدة السرعة m/s أو بالمسافة m. وعندما نفترض تسارعًا ثابتًا موجب ثلاثة، فإن مركبة السرعة تزيد بمقدار ثلاثة أمتار لكل ثانية في كل ثانية من الفترة. هذه زيادة في مركبة السرعة، وليست قولًا إن الجسم يقطع ثلاثة أمتار فقط في كل ثانية.

مثال تحويل مستقل: مركبة السرعة من موجب ثمانية عشر إلى موجب أربعة وخمسين كيلومترًا لكل ساعة خلال خمس ثوان. نحولهما إلى 5 m/s و15 m/s باستعمال 1000/3600، ثم نحسب (15-5)/5=2 m/s². أو نحول فرق الستة والثلاثين أولًا إلى عشرة أمتار لكل ثانية. الطريقتان متفقتان عندما تحفظ الوحدة والفرق اللذين تخصهما الأرقام.

أما فرق ستة وثلاثين مقسومًا على خمس مع إبقاء الوحدات الأصلية، فيعطي قيمة بوحدة كيلومتر لكل ساعة لكل ثانية، لا الرقم نفسه بوحدة متر لكل ثانية مربعة. لا تصلح كتابة الوحدة المطلوبة بجانب حاصل غير محول لتصحيح الخطوة. كما لا تستعمل مربع الزمن في مقام قانون المتوسط؛ المربع في اسم الوحدة جاء من وحدة السرعة المقسومة على زمن، وليس من تغيير المدة إلى مربعها في هذه القسمة.

التسارع السالب قد يزيد مقدار السرعة

تحدد إشارة التسارع جهة تغير السرعة على المحور المختار. زيادة مقدار السرعة أو نقصانه تحتاج مقارنة اتجاهي السرعة والتسارع، ولا تحسمها علامة التسارع وحدها. [1]

في أربع بطاقات مستقلة نفترض تسارعًا ثابتًا طوال أربع ثوان. الأولى تبدأ عند موجب اثنين وتنتهي عند موجب أربعة عشر، فتسارعها موجب ثلاثة ويزداد المقدار. الثانية تبدأ عند موجب أربعة عشر وتنتهي عند موجب اثنين، فتسارعها سالب ثلاثة وينقص المقدار. بقي الاتجاه موجبًا في البطاقتين، لذلك اختلف أثر التغير بحسب جهة التسارع بالنسبة إلى جهة الحركة التي حددناها.

الثالثة تبدأ عند سالب اثنين وتنتهي عند سالب أربعة عشر. فرق السرعة -14-(-2)=-12 m/s، والتسارع سالب ثلاثة. مع ذلك ارتفع مقدار السرعة من اثنين إلى أربعة عشر؛ الحركة تزداد في الجهة السالبة. والرابعة تبدأ عند سالب أربعة عشر وتنتهي عند سالب اثنين، فالتسارع موجب ثلاثة والمقدار ينقص. هذه الأمثلة تمنع اختزال كل سالب في كلمة تباطؤ، وكل موجب في زيادة مقدار.

ولم يتغير تعريف التسارع بين البطاقات؛ اختلفت جهة الحركة والسرعتان المعطاتان. في الرسم الأول كتبنا قيم البداية والنهاية والنتيجة لكل بطاقة. إذا قلبت جهة المحور الموجبة، تنقلب إشارات المركبات، لكن وصف زيادة المقدار أو نقصانه لا يتغير لمجرد قلب الاسم. لا تستعمل رسم سهم دون تسمية المحور لاختيار علامة؛ اتفق أولًا على الاتجاه المرجعي ثم اكتب القيم التي تعنيها البطاقة.

التوقف لحظة لا يعني أن التسارع اختفى

عندما يثبت التسارع، يتساوى المتوسط واللحظي، وتصح العلاقة v_f=v_i+aΔt. لا تجعل قراءة متوسط لفترة دليلًا تلقائيًا على الثبات داخلها. [2]

لنؤلف نموذجًا تبدأ فيه المركبة عند -4 m/s، والتسارع ثابت +3 m/s²، ونعد الزمن من صفر إلى أربع ثوان. القيم العددية للسرعة تعطيها v(t)=-4+3t بالمتر لكل ثانية عندما يكون الزمن بالثانية. عند ثانية واحدة تكون -1 m/s، وعند ثانيتين +2 m/s، وعند أربع +8 m/s. هذا نموذج حسابي محدد داخل الفترة، لا سجل تجربة فعلية.

لحظة السرعة الصفرية تحل -4+3t=0، فنحصل على t=4/3 s، أي نحو ثانية وثُلث. قبلها يتحرك الجسم في الجهة السالبة ويتناقص مقدار سرعته، وبعدها يتحرك في الجهة الموجبة ويزداد المقدار. بقي التسارع موجب ثلاثة على الطرفين وعند لحظة الصفر في الدالة التي عرفناها. لذلك لا نستنتج قيمة التسارع من السرعة الصفرية وحدها؛ نحتاج إلى وصف تغير السرعة.

ولو كان النموذج بدل ذلك سرعة ثابتة تساوي صفرًا خلال فترة، لكان وصفه مختلفًا عن عبور السرعة للصفر لحظة. لا تضع كلمة ساكن بجانب الوقت الحرج ثم تفسرها بأنه ساكن طوال ما قبله وما بعده. معادلتنا تعطي توقفًا آنيًا ثم تغير جهة، وليس فترة انتظار. وعند الحديث عن زيادة المقدار أو نقصانه في نقطة العبور نفسها، افصل ما يجري قبلها عما يجري بعدها.

قراءة منحنى السرعة والتسارع في النموذج

الرسم الداخلي يعرض محور زمن بالثانية ومركبة سرعة بالمتر لكل ثانية في الجزء العلوي. يبدأ الخط عند سالب أربعة وينتهي عند موجب ثمانية، ويقطع خط السرعة الصفرية عند أربعة أثلاث الثانية. لا يمثل هذا الخط الطريق الذي يسلكه الجسم في المكان؛ ارتفاعه قيمة السرعة، لا موضعه. الخط الصاعد يدل في نموذجنا على زيادة المركبة العددية، حتى عندما تكون سالبة ويتناقص مقدارها.

الجزء السفلي يرسم التسارع على الزمن نفسه، ويعطي خطًا أفقيًا عند موجب ثلاثة. السرعة تتغير في الأعلى، والتسارع ثابت في الأسفل؛ لا يوجد تناقض بينهما. ميل خط السرعة (8-(-4))/(4-0)=3 m/s². أما ميل خط التسارع الأفقي فصفر، لكنه يصف تغير التسارع نفسه، وليس قيمة التسارع المرسومة. اقرأ اسم المحور العمودي قبل تفسير ميل أي خط.

ويعين الخط الرأسي المتقطع الوقت نفسه في الجزأين: السرعة صفر عنده والتسارع ثلاثة. لون الخلفية يميز جزأي الفترة قبل تغير الجهة وبعدها، ولا يدل على منطقة في خريطة أو قيمة مسافة. إذا نقلت الرسم إلى ورقة أخرى، احتفظ بأسماء المحاور ووحداتها والدالة والفترة؛ حذف أحدها قد يحول رسمًا مفهومًا إلى شكل لا يخبر القارئ ما الكمية التي يقرأها.

المتوسط واللحظي قد يختلفان

التسارع اللحظي a(t)=dv/dt، ويظهر على رسم السرعة والزمن بميل المماس. أما المتوسط بين وقتين فيظهر بميل الخط الواصل بين نقطتيهما. [1]

نختار مثالًا مستقلًا قيمته العددية v(t)=1+2t²، بالمتر لكل ثانية والزمن بالثانية، خلال أول ثانيتين. سرعة البداية واحد وسرعة النهاية تسعة، فيكون المتوسط (9-1)/2=4 m/s². باشتقاق الدالة، القيم العددية للتسارع a(t)=4t بوحدة متر لكل ثانية مربعة. عند النهاية تساوي ثمانية، وهي مختلفة عن متوسط الأربعة الذي يخص الفترة كاملة.

وعند الثانية الأولى يكون التسارع أربعة في هذا المثال، فيتفق هناك مع متوسط أول ثانيتين. لا نحول هذا الاتفاق إلى قاعدة تجعل متوسط الفترة قيمة كل لحظة. عند الصفر تكون القيمة اللحظية صفرًا، وعند الثانية الثانية ثمانية. اختيرت الدالة لشرح الاختلاف؛ لم نستنتجها من طرفين فقط. إذا أعطتك بطاقة البداية والنهاية دون الدالة أو بيانات أخرى، فلا تعرف منها أي هذه القيم اللحظية وقع بينهما.

يمكن لدالة خطية أخرى v(t)=1+4t خلال الثانيتين أن تبدأ عند الواحد وتنتهي عند التسعة نفسها، مع تسارع ثابت أربعة. قيمة المتوسط متساوية في النموذجين، لكن الوصف داخل الفترة مختلف. هذا يوضح لماذا نكتب اسم المتوسط عندما تكون المعلومات طرفين فقط. وقراءة رسم فعلي تحتاج معرفة ما الذي تمثله نقاطه ودقته، أما رسومنا فهي مبنية من الدوال المؤلفة التي قدمناها صراحة.

متوسط صفري مع تغير السرعة داخل الفترة

في نموذج على مرحلتين، تبدأ المركبة عند موجب خمسة وتبلغ موجب أحد عشر بعد ثانيتين، ثم تعود إلى موجب خمسة بعد ثانيتين أخريين. بين بداية الأربع ثوان ونهايتها الفرق صفر، فمتوسط التسارع صفر. لكنه لا يصف خطًا ثابتًا في الداخل؛ المرحلة الأولى أضافت ستة أمتار لكل ثانية، والثانية أزالت المقدار نفسه. قارن الوقتين اللذين يخصهما المتوسط قبل استعمال كلمة صفر للحركة كلها.

إذا عرفنا كل مرحلة خطية في هذا التمرين، فتسارع الأولى موجب ثلاثة، والثانية سالب ثلاثة، بوحدة متر لكل ثانية مربعة. عند الحد بينهما غيّرنا الميل في وصف مثالي؛ لا نعطي به تفاصيل انتقال جهاز حقيقي بين المعدلين. يكفينا لحساب المتوسط معرفة طرفي الفترة، ولحساب قيم داخل المرحلتين معرفة شكلهما. لا نزعم من هذا الوصف قيمة مشتقة محددة عند زاوية وصل لا تكون الدالة قابلة للاشتقاق فيها.

ونفرّق بذلك بين ثلاثة أوصاف: متوسط التسارع عبر الأربع ثوان صفر، وتسارع كل جزء داخلي غير صفر، والمركبة الابتدائية والنهائية متساويتان. لا يثبت أي منها أن الجسم بقي في مكانه. سؤال الموضع أو المسافة يحتاج تتبع السرعة في الزمن أو معطياته الخاصة، لا متوسط التسارع وحده. احتفظ باسم الكمية والفترة في الجواب، حتى لا تتحول حقيقة عن الفرق النهائي إلى وصف لكل ما حدث بين القياسين.

حساب الإزاحة عندما يكون التسارع ثابتًا

على محور واحد ومع تسارع ثابت، الإزاحة Δx=v_iΔt+½a(Δt)². هذه إزاحة موقعة، وليست بالضرورة مجموع المسافة المقطوعة عندما تنعكس الحركة. [2]

نعود إلى مثال موجب اثنين عند البداية، وتسارع ثابت موجب ثلاثة، لمدة أربع ثوان. الإزاحة 2×4+½×3×4²=8+24=32 m. لم يبدأ الجسم من السكون، ولذلك لم نحذف حد السرعة الابتدائية. وفي هذا الفرع بقيت السرعة في الجهة الموجبة طوال الفترة، فلا توجد عودة تعكس الاتجاه؛ لكن العلاقة نفسها تعطي إزاحة موقعة عند تطبيقها على فرع يسمح بعودة.

إذا عرفت الإزاحة والسرعة الأولية والمدة، مع شرط الثبات، تستطيع عزل التسارع: a=2(Δx-v_iΔt)/(Δt)². لبطاقة السرعة الابتدائية اثنين، والمدة أربع ثوان، والإزاحة اثنين وثلاثين مترًا نحسب 2(32-2×4)/4²=48/16=3 m/s². لا تدخل المسافة الكلية مكان الإزاحة إذا كان الجسم انعكس؛ التعويض يحتاج الكمية التي سمتها المعادلة. ووجود مدة في المقام المربع هنا يخص هذه العلاقة، لا قانون متوسط تغير السرعة السابق.

أما نموذج v=-4+3t الذي يعكس الجهة، فإزاحته خلال الأربع ثوان -4×4+½×3×16=8 m. لا نسمي الثمانية مجموع المسافة المقطوعة في الطريق، لأن الحركة شملت جزءًا في الجهة السالبة ثم جزءًا في الموجبة. كما لا نستبدل السرعة الأولية بسالب مقدار آخر لمجرد أن الجسم بدأ يتباطأ؛ العلامة جاءت من الجهة التي حددناها للمحور، وبقيت هذه الجهة معلومة في الحساب.

من محصلة القوى والكتلة إلى التسارع

في النموذج النيوتني بكتلة ثابتة، a⃗=F⃗_net/m؛ نستعمل محصلة القوى الخارجية على الجسم المحدد، مع اتجاهاتها، لا قوة منفردة تختار من الرسم بلا جمع. [3]

لنؤلف مثالًا لجسم كتلته خمسة كيلوغرامات في إطار قصوري، تؤثر فيه محصلة أفقية من قوتين: موجب ثمانية عشر نيوتن وسالب ثمانية. نعطي أن القوى الأخرى تتعادل في بقية الاتجاهات. المحصلة على المحور 18-8=10 N، والتسارع 10/5=2 m/s² نحو الجهة الموجبة. لم نقسم الثمانية عشر وحدها على الكتلة، ولم نجمع مقداري القوتين كأنهما في الجهة نفسها.

ومع محصلة العشرة نفسها وكتلة عشرة كيلوغرامات في فرع مستقل، يكون التسارع واحدًا. ثبتنا المحصلة وضاعفنا الكتلة؛ لم نقدم أن الجسمين لهما السرعة الابتدائية نفسها أو أن القوة تستمر مدة واحدة. لذلك يفسر الحساب استجابتهما في الشروط المعطاة، ولا يحدد من السرعتين أكبر في وقت غير معلوم. التسارع كمية غير السرعة، والقوة كمية غيرهما؛ اكتب وحدة كل منها في السطر.

وفي تمرين تحويل منفصل، كتلة مئتين وخمسين غرامًا تساوي 0.250 kg. محصلة مقدارها نصف نيوتن تعطي 0.5/0.250=2 m/s². نتحقق بالعكس 0.250×2=0.5 N. تحويل الغرام إلى الكيلوغرام يحتاج القسمة على ألف. لا يثبت الناتج أن لدينا قوة محصلة إذا كانت البطاقة أعطت قوة واحدة فقط ولم تصف بقية القوى؛ سمِّ هذه المعلومة الناقصة قبل تعميم العلاقة على جسم فعلي.

إيجاد الزمن أو السرعة وحفظ الإشارة

في مثال التسارع الثابت، يمكن عزل المدة من Δt=(v_f-v_i)/a عندما يكون التسارع غير صفري. لسرعة من موجب اثنين إلى موجب أربعة عشر وتسارع موجب ثلاثة، المدة 12/3=4 s. أما عكس السرعتين مع إبقاء موجب ثلاثة فيعطي سالب أربع ثوان في هذا التعويض؛ هذه ليست مدة موجبة توافق الوصف الذي أردناه. راجع علامة التسارع أو ترتيب البداية والنهاية بدل أخذ قيمة مطلقة بلا تفسير.

ولحساب السرعة النهائية، خذ مثالًا جديدًا يبدأ بموجب ستة ويستمر بتسارع ثابت سالب اثنين لمدة ثلاث ثوان. النتيجة 6+(-2)×3=0 m/s. إذا مددنا النموذج نفسه ثانية أخرى، أصبحت -2 m/s، أي انعكست الجهة بعد لحظة التوقف. لا نبقي السرعة صفرًا بعد الثواني الثلاث من غير تعديل الدالة أو التسارع؛ الثبات الذي افترضناه يعني استمرار التغير المحدد في المثال.

وإذا أعطي متوسط تسارع فقط، فإنه يعيد فرق السرعة عبر الفترة التي عُرّف عليها، لكنه لا يسمح بنقل النتيجة إلى فترة أطول كما فعلنا مع التسارع الثابت. في ذلك الفرع أعطينا الثبات صراحة. كما أن متوسطًا صفريًا مع طرفين متساويين لا يكفي لاستخراج مدة وحيدة من الصيغة؛ مدد مختلفة قد تحمل الفرق نفسه. افحص معنى المعطى ومقام القسمة قبل محاولة إيجاد مجهول لا تحدده البطاقة.

تمارين وفحص جواب له معنى واضح

احسب بطاقة مؤلفة من -3 m/s عند الثانية الثانية إلى +9 m/s عند الثانية السادسة. المدة أربع، والفرق اثنا عشر، والمتوسط موجب ثلاثة متر لكل ثانية مربعة. إذا احتجت وقت تغيير الجهة داخل الفترة، فطرفاها وحدهما لا يعطيانه؛ تحتاج شكل تغير السرعة. أما إذا أعطينا تسارعًا ثابتًا لهذا الفرع، فيمكنك حل وقت السرعة الصفرية وفق البداية والمدة المناسبة لذلك التعريف الجديد.

وفي تمرين مستقل على محورنا، ابدأ عند سالب عشرة وانتهِ عند سالب أربعة خلال ثانيتين. المتوسط (-4-(-10))/2=+3 m/s²، بينما نقص مقدار السرعة من عشرة إلى أربعة. اكتب العبارة كاملة: متوسط موجب نحو الجهة المرجعية الموجبة، مع نقص مقدار السرعة بين الطرفين. هذه الجملة تحفظ ما حسبته بالفعل، وتمنع تفسير علامة الجمع وحدها على أنها زيادة مقدار في كل حالة.

في الجواب النهائي، سمِّ المحور والإطار والسرعتين والمدة، وحدد هل حسبت متوسطًا أو قيمة لحظية أو استخدمت شرط الثبات أو محصلة القوى. تحقق من الوحدات ومن إعادة بناء فرق السرعة، ولا تغير الإشارة لإرضاء كلمة مثل يتباطأ. فهم قانون التسارع يشمل اختيار العلاقة التي تسمح بها البيانات، والإبقاء على شروطها عندما تشرح النتيجة. الأمثلة والرسوم هنا للتعلم الحسابي، ولا تصف أداء مركبة أو قياس تجربة لم ننفذها.