قانون الطاقة الحركية: حساب مربع السرعة وتغير الطاقة

ما الذي يحسبه القانون في نموذجنا؟

عندما تسأل عن قانون الطاقة الحركية، فإن نصف الكتلة لا يكفي وحده للحساب؛ يجب تربيع مقدار السرعة، وقراءة وحدته وإطاره. سنستخدم جسمًا افتراضيًا كتلته ثلاثة كيلوغرامات وسرعته أربعة أمتار لكل ثانية، ثم نغير عاملًا واحدًا أو عاملين ونفحص الناتج. نحل أيضًا سؤال السرعة المجهولة، ونفرق بين طاقة حالة وتغير الطاقة بين حالتين. جميع الأرقام والرسوم مؤلفة للتعليم، وليست قياسات حركة أو تجربة تصادم أو تقدير ضرر. المطلوب فهم الحساب وشروطه قبل تحويل عدد بالجول إلى جواب عن سؤال آخر.

هذا وصف كلاسيكي لسرعات صغيرة مقارنة بسرعة الضوء. طاقة الحركة الانتقالية لا تشمل وحدها كل طاقة دوران جسم أو حركته الداخلية. [1]

سنمثل الجسم في أمثلتنا بجسيم ذي كتلة موجبة وثابتة في كل حساب، أو نحسب الجزء الانتقالي المحدد من حركته. لا نضيف دورانًا أو حركة داخلية لم نقدم عنها معطيات. وفي مقارنة صفين سنصرح إذا غيرنا الكتلة أو مقدار السرعة، بدل التعامل مع كل تغيير كأنه قياس زمني للجسم نفسه. المقارنات المؤلفة تسمح بفحص أثر العامل، دون ادعاء قصة حركة وقعت بالفعل.

ابدأ ببطاقة تقول أي جسم تمثله، وما الكتلة المعطاة وما السرعة المقاسة بالنسبة إلى أي إطار. إذا غابت إحدى الكميتين، لم يعوضها اسم الجسم أو حجمه في الصورة. وإذا كتبت المسألة كتلة وسرعة لكن المطلوب طاقة دوران حول محور، فالسؤال يحتاج وصفه المناسب. نلتزم هنا بالجزء الذي حدده النموذج، ولذلك لا نستخرج طاقة عجلة كاملة من سرعة مركزها وحدها.

الرمز K مجرد اسم للكمية التي نحسبها، وقد تجد في كتاب آخر رمزًا مختلفًا مثل KE. حافظ على معنى الرمز في كل سطر: نحتاج طاقة حركة لا الكتلة نفسها ولا الشغل بين حالتين. لا تدخل مدة في التعويض الأول إذا لم يطلبها القانون؛ السرعة المعطاة تشمل وحدتها الزمنية أصلًا. وسنتعرف إلى فرق الطاقة لاحقًا عندما تصبح للمسألة بداية ونهاية.

توحيد الوحدات قبل تربيع السرعة

في الصيغة التي سنستعملها، نكتب الكتلة بالكيلوغرام والسرعة بالمتر لكل ثانية. مثال تحويل مستقل يعطي كتلة سبعمئة وخمسين غرامًا وسرعة ثمانية عشر كيلومترًا لكل ساعة. الكتلة 750/1000=0.75 kg، والسرعة 18×1000/3600=5 m/s. اكتب هذين السطرين أولًا؛ لا تضع سبعمئة وخمسين وثمانية عشر مكان القيم المحولة ثم تسمّي الناتج جولًا.

بعد التحويل، طاقة ذلك الفرع ½×0.75×5²=9.375 J. الكسر ثلاثة أرباع للكتلة وخمسة وعشرون لمربع السرعة يعطيان النتيجة نفسها: (1/2)×(3/4)×25=75/8. أبقينا القيمة الدقيقة هنا، ولم نقرّب السرعة قبل تربيعها. إذا أردت عددًا مقربًا، أعلن التقريب في النتيجة المناسبة بدل تغيير المعطيات دون إشارة أثناء الحساب.

ووحدة الحساب نفسها قابلة للفحص: الكتلة مضروبة في مربع السرعة تعطي kg·m²/s²، وهي الجول في هذا السياق. أما إذا نسيت التربيع، فسترى kg·m/s بدل ذلك. الوحدة تكشف اختلاف الكمية التي صنعتها، لكنها لا تصلح وحدها دليلًا على أن كل تعويض صحيح؛ قد تحافظ على وحدة الجول وتستخدم كتلة من فرع وسرعة من فرع آخر. راجع المعطيات والوحدة معًا.

مثال أساسي: ثلاثة كيلوغرامات وأربعة أمتار لكل ثانية

نعود إلى الجسم الذي سنستخدمه في معظم المقارنات: كتلته ثلاثة كيلوغرامات ومقدار سرعته أربعة أمتار لكل ثانية في إطار اخترناه. مربع السرعة 4²=4×4=16، ونصف الكتلة 3/2=1.5. حاصل الضرب 1.5×16=24 J. كل عدد في السطر له مهمة معلومة؛ لم نستعمل قوة أو ارتفاعًا أو زمن رحلة للوصول إلى هذه الطاقة الانتقالية.

يمكن ترتيب التعويض أيضًا (3×4²)/2=48/2=24 J. الطريقتان متفقتان لأن النصف عامل يضرب الكتلة ومربع السرعة. لكن كتابة (3×4)²/2 تصنع تعويضًا آخر: ربعت الكتلة مع السرعة. احفظ الأقواس حتى يبقى الأس على السرعة وحدها، ولا تفترض أن نقل التربيع إلى مجموعة عوامل عملية شكلية لا تغير الرقم أو وحدته.

وإذا حسبت ½×3×(2×4)=12، فقد استبدلت مربع الأربعة بضعفها. الخطأ هنا ليس في ضرب النصف، بل في تفسير الأس. نحتاج ستة عشر لا ثمانية. يسهل كشفه بأن تكتب ضرب الأربعة في نفسها في سطر مستقل، ثم تعوض. التدريب على هذا المثال البسيط يعطيك طريقة تتبع الخطأ قبل أن تصبح السرعة عشرية أو تأتي بوحدة تحتاج تحويلًا.

تغيير الكتلة وحدها مع بقاء السرعة

في فرع جديد نعطي كتلة ستة كيلوغرامات، ونبقي السرعة أربعة أمتار لكل ثانية. النتيجة ½×6×16=48 J، ضعف الأربع والعشرين. نصفنا بدل ذلك الكتلة الأصلية إلى كيلوغرام ونصف، مع السرعة نفسها، فنحصل على اثني عشر جولًا. المقارنة تخص عامل الكتلة وحده؛ لا نضيف إليها استنتاجًا بأن جسمًا أثقل يتحرك دائمًا بالسرعة نفسها في كل ظرف.

أعد كتابة النسبة عند السرعة الثابتة في مثالنا: 48/24=6/3=2. اختفى عامل مربع السرعة من نسبة القيمتين لأنه مشترك. هذه طريقة حسابية مختصرة، بشرط أن تكون السرعتان متساويتين فعلًا. إذا تغيرت السرعة إلى قيمة أخرى، لم تعد مقارنة الكتل وحدها كافية؛ عليك أن تحفظ عامل السرعة الجديد في الحساب، كما سنفعل في المقارنة المركبة لاحقًا.

ولا تحول نتيجة هذا الفرع إلى وصف لأثر تصادم أو قوة توقف. قدمنا كتلتين وسرعة واحدة وحسبنا طاقة كل بطاقة، لكننا لم نقدم جسمًا اصطدم به أي منهما أو زمن تفاعل أو مسافة توقف أو طريقة تشوه. جواب الطاقة معلوم في التمرين، والأسئلة الأخرى تحتاج معطياتها. إبقاء نوع السؤال واضحًا يسمح لك باستعمال النتيجة الدقيقة دون تحميلها حكمًا لم ينتج من الأرقام المعطاة.

تغيير السرعة وحدها: المربع يغير النسبة

للكتلة الأصلية ثلاثة كيلوغرامات، اجعل السرعة مترين لكل ثانية بدل أربعة. المربع صار أربعة، والطاقة 1.5×4=6 J، ربع الأربع والعشرين. ثم اجعل السرعة ثمانية بدل أربعة؛ المربع صار أربعة وستين، والطاقة 1.5×64=96 J. هكذا نميز في بطاقاتنا بين نصف السرعة وربع الطاقة، وبين ضعف السرعة وأربعة أمثال الطاقة. الكتلة بقيت نفسها في المقارنتين.

الاختصار هو تربيع عامل تغير السرعة: (8/4)²=4، و(2/4)²=1/4. لا نأخذ الفرق بين السرعتين ثم نربعه ونقول إنه نسبة الطاقتين؛ الفرق والنسبة عمليتان مختلفتان. وإذا أردت مقدار الزيادة في الفرع الأول من أربعة إلى ثمانية، اطرح 96-24=72 J. أصبحت الطاقة أربعة أمثال الأصل، والزيادة ثلاثة أمثال الأصل؛ العبارتان لا تعنيان النسبة نفسها.

ولزيادة أصغر نختار سرعة أعلى بعشرة بالمئة من الأربعة، أي 4×1.1=4.4 m/s. مربع عامل الزيادة 1.1²=1.21، فالطاقة 24×1.21=29.04 J. الزيادة خمسة فاصلة صفر أربعة جول، أو واحد وعشرون بالمئة من الأصل. لا ننقل نسبة العشرة بالمئة من خانة السرعة إلى خانة الطاقة بلا تربيع، حتى إذا بدا التغير صغيرًا في الأعداد المكتوبة.

عندما تتغير الكتلة والسرعة معًا

نضاعف الكتلة إلى ستة كيلوغرامات وننصف السرعة إلى مترين لكل ثانية. الحساب المباشر ½×6×2²=12 J. وبالمقارنة مع بطاقتنا الأصلية نضرب عامل الكتلة اثنين في مربع عامل السرعة نصف: 2×(1/2)²=1/2. انخفضت الطاقة إلى النصف رغم أن الكتلة زادت، لأن التغير في السرعة دخل على نحو مختلف في حاصل الضرب.

وفي فرع معاكس ننصف الكتلة إلى كيلوغرام ونصف ونضاعف السرعة إلى ثمانية. الطاقة ½×1.5×8²=48 J، وعاملها (1/2)×2²=2. لا تصف أي فرع بقول «ضاعفنا قيمة» فقط؛ قل أي قيمة ضاعفت، وماذا فعلت بالقيمة الأخرى. عبارة مختصرة قد تخفي تغييرين وتمنع القارئ من إعادة الحساب الذي تعنيه، حتى لو كان الناتج النهائي صحيحًا.

يمكن كذلك أن تتساوى الطاقة لبطاقتين مختلفتين: كتلة اثني عشر كيلوغرامًا عند مترين لكل ثانية تعطي ½×12×4=24 J، مثل ثلاثة كيلوغرامات عند أربعة. تساوي الطاقة لا يحدد كتلة واحدة وسرعة واحدة. لهذا لا نستخرج السرعة من عدد الجول وحده؛ نحتاج كتلة معلومة مع شروط النموذج. كل زوج جديد يستحق بطاقة واضحة، بدل نقل وصف الجسم الأصلي إلى جميع الأزواج المتساوية في الناتج.

إيجاد السرعة أو الكتلة من الطاقة

ابدأ من K=½mv² واضرب الطرفين في اثنين ثم اقسم على الكتلة الموجبة. تحصل على v²=2K/m، ومنها مقدار السرعة v=√(2K/m). في فرع أعطينا فيه أربعًا وخمسين جولًا وكتلة ثلاثة كيلوغرامات، داخل الجذر 108/3=36، فيكون المقدار ستة أمتار لكل ثانية. لا تتوقف عند ستة وثلاثين وتسميها سرعة؛ هذه قيمة المربع قبل أخذ الجذر.

وبالفحص العكسي ½×3×6²=54 J، فتعود إلى الطاقة المعطاة. الجواب يعطي مقدارًا غير سالب ولا يختار اتجاهًا على محور؛ ستة نحو اليمين وستة نحو اليسار متساويتان في هذا الحساب. إذا احتاج السؤال اتجاه الحركة، فتلك معلومة أخرى في البطاقة. لا تستخرج جهة من كون الجذر الذي أخذته موجبًا؛ أخذناه موجبًا لأننا نطلب مقدار السرعة لا مركبتها الموقعة.

ولإيجاد الكتلة عند سرعة غير صفرية، نكتب m=2K/v². مع أربع وعشرين جولًا وأربعة أمتار لكل ثانية، النتيجة 48/16=3 kg. إذا كانت السرعة صفرًا والطاقة صفرًا، لا تعطي القسمة كتلة محددة؛ يوافق ذلك كتلًا متعددة في النموذج. وإذا أعطيت طاقة موجبة وسرعة صفرًا له، فالمعطيات لا تتفق مع الصيغة. سمِّ هذا التعارض قبل محاولة القسمة على صفر.

إشارة السرعة وإطار القياس

الطاقة الحركية غير سالبة في هذا النموذج؛ تربيع مقدار السرعة يختلف عن إشارة مركبة سرعة على محور. [1]

تختلف قيمة طاقة الحركة باختلاف إطار قياس السرعة. يجب تعيين إطار واحد للمقارنة، أو بيان التحويل بين إطارين. [1]

على محورنا، نعطي مركبة سرعة موجبة أربعة ثم سالبة أربعة متر لكل ثانية في بطاقتين بالكتلة نفسها. مقدار السرعة أربعة في الحالتين، وتربيع القيمة الموقعة يعطي ستة عشر كذلك، فالطاقتان أربع وعشرون جولًا. انعكست الجهة دون تغير المقدار. لا تجعل علامة السالب أمام المركبة طاقة سالبة؛ وابحث عن معطيات الاتجاه إذا كان السؤال عن حركة موجهة لا عن عدد الجول وحده.

لنغير الإطار في مثال مستقل على المحور نفسه: يتحرك إطار ثان بسرعة موجبة مترين لكل ثانية بالنسبة إلى الأول. جسمنا سرعته موجبة أربعة في الأول، فمركبته في الثاني 4-2=2 m/s في هذا النموذج الكلاسيكي. طاقته في الأول أربع وعشرون، وفي الثاني ستة جول. لم نُبطئ الجسم خلال فترة هنا؛ وصفنا الحالة نفسها من إطارين. وإذا تحرك إطار معه تمامًا، صار الجزء الانتقالي المحسوب فيه صفرًا، دون حكم عن كل طاقته الداخلية.

من طاقة حالة إلى الشغل الكلي بين حالتين

الشغل الكلي على جسيم يساوي تغير طاقته الحركية: W_net=K_f-K_i. يشمل الشغل الكلي جميع القوى المؤثرة، مع إشارات شغلها. [2]

للمحصلة الثابتة الموافقة لاتجاه الإزاحة، يكون شغلها حاصل ضرب مقدارها في الإزاحة. اتجاه القوة يدخل في حساب الشغل. [2]

نختار مثالًا جديدًا بكتلة أربعة كيلوغرامات في إطار قصوري واحد، مقدار السرعة الابتدائية متران لكل ثانية والنهائية خمسة. الطاقة الابتدائية ½×4×2²=8 J، والنهائية ½×4×5²=50 J. الفرق 50-8=42 J، وهو الشغل الكلي الموافق لهذا التغير في نموذج الجسيم. لا تجعل الخمسين نفسها جواب الشغل بين الحالتين؛ للجسم طاقة حركة عند البداية احتفظنا بها في الطرح.

يمكن تأليف وصف ميكانيكي متوافق: محصلة ثابتة مقدارها أربعة عشر نيوتن في اتجاه إزاحة مقدارها ثلاثة أمتار، في الإطار نفسه، تعطي 14×3=42 J. افترضنا أن هذه هي المحصلة المعنية، وأن جمع أشغال القوى يعطي المقدار المذكور؛ لم نستعمل قوة سحب واحدة وننسى قوة أخرى تبذل شغلًا. هذا تحقق عددي من توافق الشغل مع فرق الطاقة، لا اختبار جسم أو وصف طريقة لتسريعه في الواقع.

فرق المربعين لا يساوي مربع فرق السرعتين

في مثال الأربعة كيلوغرامات، نكتب تغير الطاقة مباشرة ΔK=½×4×(5²-2²)=2×(25-4)=42 J. أما ½×4×(5-2)²=2×9=18 J فليس فرق الطاقتين. تربيع ثلاثة بعد طرح السرعتين عملية مختلفة عن طرح خمسة وعشرين وأربعة. اكتب الطاقة لكل حالة أولًا عندما تلتبس الأقواس؛ عندها ترى سبب استعمال الفرق الصحيح في المعادلة.

لو عكسنا البداية والنهاية في فرع مستقل، أصبح التغير 8-50=-42 J. الطاقة الابتدائية خمسون جولًا والنهائية ثمانية؛ كل منهما غير سالبة. السالب في الفرق يشير إلى انخفاض الطاقة الحركية. وكذلك يكون الشغل الكلي سالبًا في هذا الوصف. لا تضف علامة السالب إلى الطاقة النهائية لتجعلها سالب ثمانية، ولا تأخذ القيمة المطلقة للفرق ثم تقول إنك حافظت على اتجاه انتقال المثال نفسه.

ويحتاج سؤال قوة أو مسافة توقف إلى وصف إضافي يتجاوز معرفة الفرق وحده. في فرعنا السابق عرفنا المحصلة وإزاحتها، فاستطعنا فحص حاصل ضربهما. لكن مجرد اثنين وأربعين جولًا لا يختار زوجًا وحيدًا من قوة ومسافة، ولا يعطي مدة تفاعل أو أكبر قوة لحظية. حافظ على الفرق بين كمية طاقة معلومة وبين بيانات حركة أو تفاعل لم تتضمنها البطاقة التي بدأت منها.

قراءة منحنى الطاقة والسرعة لكتلة ثابتة

المنحنى المرفق لكتلة ثلاثة كيلوغرامات فقط، فنكتب العلاقة K=1.5v². المحور الأفقي مقدار السرعة بالمتر لكل ثانية، والعمودي الطاقة بالجول. عند سرعة الصفر تكون الطاقة صفرًا. ثم تعطي مقادير السرعة اثنان وأربعة وستة وثمانية، على الترتيب، 6 J و24 J و54 J و96 J. كل نقطة زوج محسوب من العلاقة، ولا يبين المنحنى موضع الجسم في المكان أو زمن وصوله إلى السرعة المكتوبة.

لاحظ أن خطوات السرعة المتساوية بمقدار اثنين لا تعطي خطوات طاقة متساوية: الفروق ستة ثم ثمانية عشر ثم ثلاثون ثم اثنان وأربعون جولًا. لهذا لم نرسم خطًا مستقيمًا بين الصفر والثمانية باعتباره قانونًا لكل النقاط. عند أربعة، ذلك الخط المستقيم بين الطرفين سيعطي ثمانية وأربعين، بينما العلاقة المحددة تعطي أربعًا وعشرين. الرسم الحسابي يجب أن يتبع الصيغة لا مجرد أكبر نقطتين.

والرسم يثبت الكتلة، فلا تقرأ منه طاقة جسم كتلته ستة كيلوغرامات كأنه الحالة نفسها. تستطيع إجراء حساب جديد أو رسم منحنى آخر إذا تغيرت الكتلة، لكنك ستغير شرط الشكل. كذلك لا تضف علامة زمن إلى المحور الأفقي ثم تبقي التفسير كما هو؛ صارت عندها العلاقة التي تعرضها غير التي حسبناها. اقرأ اسم كل محور ووحدته وكتلة النموذج قبل أخذ قيمة من المنحنى.

تمارين وفحص جواب قابل لإعادة الحساب

احسب بطاقة مؤلفة لكتلة خمسة كيلوغرامات عند مترين لكل ثانية: ½×5×4=10 J. وبطاقة أخرى لكتلة كيلوغرامين عند خمسة: ½×2×25=25 J. الثانية أخف لكنها أعلى طاقة في المعطيات المختارة. لا نقارن عدد الخمسة في الكتلة مع الخمسة في السرعة على أنهما عاملان يؤديان المهمة نفسها؛ الوحدة والأس وموقع كل قيمة في التعويض تحدد أثرها.

ثم ارجع إلى طاقة أربع وعشرين جولًا في بطاقتنا الأصلية، وزد السرعة عشرين بالمئة مع بقاء الكتلة. العامل 1.2²=1.44، والطاقة 24×1.44=34.56 J. الزيادة أربع وأربعون بالمئة وليست عشرين. إذا أردت فحصًا مباشرًا، السرعة الجديدة أربعة فاصلة ثمانية، ومربعها ثلاث وعشرون فاصلة صفر أربعة؛ ضربه في كيلوغرام ونصف يعطي العدد نفسه. اختر طريقة تحقق مستقلة تكشف موضع التغيير.

في جوابك الأخير سمِّ الكمية والكتلة ومقدار السرعة ووحدته والإطار وحدود النموذج. وإذا حسبت تغيرًا، أضف طاقتي البداية والنهاية بالترتيب الصحيح. لا تعوض بالسرعة قبل تحويل وحدتها، ولا تحول طاقة الانتقال إلى كل طاقة الجسم دون بيانات أخرى. بهذه البطاقة يستطيع القارئ مراجعة الحساب ومعرفة ما بقي خارج السؤال؛ وهي الفائدة الأساسية من فهم القانون إلى جانب حفظ صيغة النصف والكتلة ومربع السرعة.