كونكويد دي سلووز: لماذا لا يصل تمثيله إلى الأصل المعزول؟

الخلاصة السريعة

عند a=−1/2، يحقق الأصل المعادلة الضمنية، لكن كل نقطة من التمثيل القطبي أو الوسيطي تبعد عنه نصف وحدة على الأقل، فلا يصل إليه التمثيل حتى بالحد.

• نختار (x−1)(x²+y²)=−x²/2. التمثيل الوسيطي هو x=1−1/(2(1+u²)) وy=ux لكل u حقيقية. يرتبط u بالزاوية بواسطة u=tanθ، ولا يكون هو نفسه زاوية أو زمنًا؛ يشترط التمثيل القطبي cosθ≠0.
• الأصل O=(0,0) حل للمعادلة الضمنية. أما قطبيًا فإن r=0 يتطلب1−cos²θ/2=0، وهو مستحيل. التعويض الجبري لا يثبت أن نقطة ما تنتج من كل تمثيل للمنحنى.
• كل حل غير الأصل له1/2≤x＜1. القرص المفتوح حول O بنصف قطر1/2 لا يحتوي حلًا آخر. للفرع الوسيطي الهوية d²−1/4=u²(u²+3/4)/(1+u²)≥0؛ أقرب نقطة A=(1/2,0) عند u=0، وبعدها1/2.
• إذا كان الحل غير الأصل فإن x≠0، ونستعيد u=y/x ثم المعادلتين الوسيطيتين. يغطي التمثيل جميع الحلول غير الأصل؛ الفرق بين مجموعتي النقاط هو O وحدها. لا يجوز إلغاء هذه النقطة من المعادلة أو وصلها بالفرع بخط مرسوم.
• عند A تكون المشتقة(0,1/2)، ومماسها x=1/2؛ إنها نقطة منتظمة وليست رأسًا مدببًا. عند u=1 تكون P=(3/4,3/4)، ومشتقتها(1/4,1) تعطي الميل4 والمماس4x−y=9/4؛ ميل OP يساوي1.
• الأصل عقدة عند a＜−1، ورأس مدبب عند a=−1، ونقطة معزولة عند a＞−1. [1] نفحص القيم−2 و−1 و−1/2: مروران منتظمان، ثم رأس بمماس حدي أفقي، ثم أصل جبري لا يبلغه التمثيل.

ثبّت المعادلة ومعنى التمثيل

يعرض المرجع الصيغتين (x−1)(x²+y²)=a x² وr=secθ+a cosθ لكونكويد دي سلووز. [1] الرمز secθ يعني1/cosθ؛ لذلك يستبعد التمثيل القطبي الزوايا التي يكون جيب تمامها صفرًا.

نعمل في مستوى بإحداثيين حقيقيين، ونختار a=−1/2. تصبح المعادلة F=(x−1)(x²+y²)+x²/2=0. مجموعة حلولها هي كل الأزواج الحقيقية التي تجعل F صفرًا، سواء وصلت إليها صيغة وسيطية معينة أم لا.

في التمثيل القطبي نحسب x=r cosθ وy=r sinθ. الإحداثي r موجه، وقد يكون سالبًا؛ المسافة إلى الأصل هي |r|. نقيس θ بالراديان من الاتجاه الأفقي الموجب، ولا نقرأها زمن حركة.

بضرب صيغة r في cosθ نجد x=1+a cos²θ. ثم نضع u=tanθ، فتصبح cos²θ=1/(1+u²)، ونحصل على x=1+a/(1+u²) وy=ux. عند الاختيار الحالي تكون x=1−1/(2(1+u²)).

المقام1+u² موجب لكل u حقيقية. يمكن تمثيل هذه القيم بزوايا−π/2＜θ＜π/2، حيث cosθ غير صفري. الزوايا التي تختلف بمقدارπ تكرر النقطة نفسها في هذه العائلة، لأن x يعتمد على cos²θ وy=x tanθ.

إذن نستعمل u عددًا حقيقيًا بلا وحدة، مرتبطًا بزاوية، لا زاوية بحد ذاته. سنفحص المعادلة الضمنية والتمثيل كلًا على حدة قبل تقرير أن لهما مجموعة نقاط واحدة.

اختبر الأصل في كل صيغة على حدة

عند O=(0,0)، يعطي الطرفان في (x−1)(x²+y²)=−x²/2 القيمة صفرًا. لذلك الأصل حل حقيقي للمعادلة الضمنية. لا يمكن رفضه لمجرد أنه لا يظهر على خط أزرق يرسمه برنامج من صيغة وسيطية.

أما في الصيغة القطبية، فإن الحصول على الأصل يحتاج r=0 عند زاوية صالحة. الصيغة r=secθ−cosθ/2 تعطي بعد الضرب في cosθ الشرط1−cos²θ/2=0. هذا يطلب cos²θ=2، وهو مستحيل لزاوية حقيقية.

ولا تساعد الزوايا ذات cosθ=0؛ الصيغة الأصلية غير معرفة عندها، فلا تصبح هذه القيم حلولًا للأصل. في التمثيل الوسيطي سنرى أن x لا يقل عن1/2، وهو سبب مباشر آخر لغياب O.

يمكن متابعة الفرق أثناء التحويل الجبري. من r cosθ=1+a cos²θ، نضرب في r² ونستبدل r cosθ بـx وr² بـx²+y²؛ نحصل على (x−1)(x²+y²)=a x². لكن عند r=0 تصبح المعادلة الأخيرة0=0 ولا تحتفظ بشرط الزاوية السابق.

إذن اتجاه التحويل من نقطة قطبية صالحة إلى حل جبري صحيح، أما العكس فيحتاج فحصًا. في مثالنا تشمل الصيغة الجبرية O إضافة إلى الفرع المرسوم. الأصل ليس حلًا زائفًا للجبر؛ هو نقطة لا ينتجها هذا التعريف القطبي.

وجوده منفصلًا ليس رأسًا مدببًا نصل إليه على امتداد الفرع، ولا تقاطعًا مختفيًا تحت سماكة خط. سنثبت خلو جوار كامل منه من أي حل آخر، ثم نحدد أقرب نقطة من الفرع.

أثبت خلو قرص مفتوح حول الأصل

إذا x=1، تصبح المعادلة0=−1/2، فلا حل. إذا x≠1، يمكن ترتيبها إلى y²=x²(1/2−x)/(x−1). عند x=0 نجد y=0؛ الأصل هو الحل الوحيد على المحور الرأسي.

لأي x تحقق0＜|x|＜1/2، يكون1/2−x موجبًا وx−1 سالبًا، فيصبح الطرف الأيمن سالبًا. لا يمكن أن يساوي مربع عدد حقيقي. لذلك لا توجد نقطة من المعادلة بهذه الإحداثيات الأفقية.

كل نقطة داخل القرص x²+y²＜1/4 تحقق |x|＜1/2. فإذا x غير صفر رُفضت بالإشارة السابقة، وإذا x=0 لم يبق إلا y=0. إذن هذا القرص المفتوح لا يحتوي حلًا غير O؛ هذا هو معنى أن الأصل نقطة معزولة.

نحدد بقية المجال بالإشارة أيضًا: عند x＜0 يكون الطرف الأيمن سالبًا، وكذلك عند0＜x＜1/2. وعند x＞1 يتغير ترتيب الإشارتين لكن الناتج يبقى سالبًا. لذلك الحلول غير الأصل تقع في1/2≤x＜1.

عند x=1/2 تفرض المعادلة y=0، فنجد A=(1/2,0). المسافة OA=1/2. هذه النقطة على محيط القرص، لا داخله؛ كلمة «مفتوح» تحفظ الفرق بين وجود حل على الحد وخلو الداخل من الحلول الأخرى.

في الصورة الرئيسية نميز القرص باللون الفاتح وحده الأحمر. لا يكون القرص منطقة من المنحنى، ولا يكون حد الدائرة فرعًا له. اللون أداة لإظهار الجوار الخالي، والأصل نفسه يبقى نقطة من المعادلة داخل هذا الجوار.

أعد كل حل غير الأصل إلى المعامل

خذ حلًا حقيقيًا غير O. لأن x=0 يفرض O فقط، يكون x≠0، فنضع u=y/x. بالتعويض تصبح (x−1)x²(1+u²)=−x²/2. يمكن الآن القسمة على x² لأننا حددنا الحالة التي تسمح بها.

بعد القسمة نحصل على (x−1)(1+u²)=−1/2، ثم x=1−1/(2(1+u²)) وy=ux. إذن كل حل غير الأصل يصل إليه التمثيل بمعامل حقيقي. وبالعكس، التعويض بهذه الصيغ يحقق المعادلة لكل u حقيقية.

المعامل واحد لكل نقطة من هذا الفرع لأنه يساوي y/x. لا نجد قيمة إضافية تعيد O إلى الفرع؛ إحداثيه الأفقي غير صفر دائمًا. لذا الفرق بين مجموعة الحلول الجبرية ومجموعة النقاط الوسيطية هو الأصل وحده.

المسافة إلى الأصل d تحقق d²=x²(1+u²). باستخدام x=(u²+1/2)/(1+u²)، نجد d²−1/4=u²(u²+3/4)/(1+u²). الطرف الأيمن غير سالب، وينعدم عند u=0 فقط.

إذن d≥1/2، وأقرب نقطة هي A. حتى حد نقاط الفرع لا يمكن أن يصل إلى O: الحد الأدنى للمسافة موجب وثابت. لا نضع u=∞ بوصفها قيمة عادية، ولا نتوقع أن تعالج قيمة كبيرة فجوة نصف وحدة.

إذا أردنا عرض جميع الحلول الجبرية، نرسم الفرع ونضيف O نقطة منفصلة. وصل O بالفرع بقطعة مستقيمة يضيف نقاطًا لا تحقق المعادلة. اكتمال الرسم يحتاج تعريف مجموعة النقاط، لا خطًا متصلًا يرضي الانطباع البصري.

افحص نقطة منتظمة ومماسها

عند u=0 يعطي التمثيل A=(1/2,0). نشتق بالنسبة إلى u: x′=u/(1+u²)²، وy′=x+ux′. المشتقة عند A هي(0,1/2)، غير صفرية، فيكون المماس رأسيًا x=1/2.

المماس الرأسي لا يعني رأسًا مدببًا؛ انعدام المركبة الأفقية وحدها لا يكفي. وعلى الفرع كله تكون y′ موجبة، لأن x≥1/2 وux′=u²/(1+u²)² غير سالب. لذلك التتبع منتظم لكل معامل محدود.

نختار u=1، فنجد P=(3/4,3/4). في المعادلة الضمنية تكون x²+y²=9/8؛ الطرف الأيسر−9/32، والأيمن−9/32 أيضًا. هذه مراجعة كسرية لصحة النقطة.

المشتقة عند P هي(1/4,1)، ولذلك الميل4. من y−3/4=4(x−3/4) نحصل على4x−y=9/4. تعويض P يعطي3−3/4=9/4؛ يمر الخط بالنقطة وله اتجاه مشتقتها.

أما الشعاع OP فميله1، فلا نستبدله بميل المماس4. بتغيير u إلى−1 نجد Q=(3/4,−3/4)، انعكاس P تحت المحور الأفقي. يعرض الجدول نقاط المعادلة المختارة؛ O جبرية معزولة، والبقية على الفرع الوسيطي.

لا توجد نقاط حقيقية من الفرع قريبة اعتباطيًا من O، لذلك لا نستخرج عندها مماس مرور حقيقي من هذا التمثيل. فشل صيغة ميل ضمنية هناك ليس البرهان على العزلة؛ البرهان هو القرص الخالي والمسافة الموجبة اللذان أثبتناهما.

قارن عقدة ورأسًا مدببًا ونقطة معزولة

يصف المرجع الأصل بعقدة عند a＜−1، ورأس مدبب عند a=−1، ونقطة معزولة عند a＞−1. [1] نراجع ثلاث قيم في الموضع الإحداثي نفسه؛ المعادلة العامة مشتركة لكن وضع الأصل يتغير.

عند a=−2 يكون x=(u²−1)/(1+u²) وy=ux. نحصل على O عند u=−1 وu=1، بمشتقتين(−1,1) و(1,1). المماسان y=−x وy=x متعامدان؛ هنا مروران منتظمان وعقدة تقاطع.

عند a=−1 تصبح x=u²/(1+u²) وy=u³/(1+u²). الأصل يأتي عند u=0، لكن المشتقة(0,0). قرب الصفر تقارب x المقدار u² وy المقدار u³؛ يكون المماس الحدي y=0، والالتقاء رأسًا مدببًا.

وعند a=−1/2 تبقى O حلًا جبريًا، بينما x≥1/2 في التمثيل. لا يوجد مرور عند الأصل أصلًا. المقارنة لا تختزل الحالات الثلاث إلى «مشتقة غير معرفة»؛ نراجع وجود المرور ثم انتظامه ثم اتجاهه.

يمكن إثبات العزلة أيضًا لكل a＞−1 دون الاكتفاء بالمثال. كل حل غير الأصل يعود إلى x=1+a/(1+u²)، ومنه x≥min(1,1+a)＞0. هذا الحد الموجب يجعل الأصل منفصلًا عن بقية الحلول الحقيقية.

في الصورة الداخلية الأزرق للقيمة−2، والبنفسجي للقيمة−1، والذهبي للقيمة−1/2. الأجزاء مقطوعة في العرض، وجميعها على مقياس واحد. نقطتا N=(−1,0) وA=(1/2,0) تخصان قيمتين مختلفتين للمعامل a، ولا نضعهما في معادلة واحدة من الحالات.

نتيجة المثال ليست حذف الأصل من الجبر ولا إجبار التمثيل على بلوغه. المطلوب الاحتفاظ بالتعريفين وبيان الفرق بينهما. لم نحسب مساحة الحلقة أو طول الفرع أو انحناءه؛ الفحص هنا لاكتمال التمثيل ونوع نقطة الأصل.