كيفية تقريب الأعداد: العشرات والأعشار والحالات الخاصة

الخلاصة السريعة

تقريب العدد استبداله بقيمة قريبة عند منزلة محددة؛ فالتقريب إلى أقرب عشرة يختلف عن التقريب إلى أقرب جزء من عشرة.^[1]

• لأقرب عشرة نختار مضاعفًا للعدد 10، ولأقرب جزء من عشرة نختار مضاعفًا للعدد 0.1.^[1]
• نعتمد هنا التقريب إلى الأقرب، وعند التعادل نختار القيمة الأبعد عن الصفر؛ لذا يصبح −4.25 إلى الأعشار −4.3.^[2]
• قد ينتقل الحمل إلى منزلة سابقة؛ ففي مثالنا تصبح 9.96 إلى الأعشار 10.0.
• عند التقريب إلى الأقرب، لا يتجاوز بُعد العدد عن النتيجة نصف المسافة بين القيمتين المحيطتين.
• تقريب كل مدخل قبل الجمع قد يغيّر النتيجة مقارنة بجمع القيم الأصلية ثم تقريب الناتج.

كيف نحدد منزلة التقريب؟

نحدد المنزلة أولًا، ثم ننظر إلى الرقم الذي يليها. للأعداد الموجبة، إذا كان أقل من 5 أبقينا رقم المنزلة، وإلا زدناه واحدًا. نستبدل ما بعدها بأصفار في الأعداد الصحيحة، ونحذفه بعد الفاصلة في التقريب العشري.^[1]

لنأخذ العدد 37.46. يقع بين 30 و 40 عند التقريب إلى أقرب عشرة؛ يبعد 7.46 عن الأول و 2.54 عن الثاني، ولذلك تصبح النتيجة 40. أما إلى أقرب جزء من عشرة فيقع بين 37.4 و 37.5، والمسافتان 0.06 و 0.04؛ فتكون النتيجة 37.5.

توضح المقارنة سبب ضرورة قراءة المطلوب: عبارة «أقرب عشرة» لا تعني الاحتفاظ برقم واحد بعد الفاصلة. وفي المثال نفسه، لا يتغير العدد عندما تكون المنزلة المطلوبة آخر منزلة موجودة فيه.

ماذا يحدث عند الحمل والأعداد السالبة؟

إذا ازدادت منزلة تحتوي على 9، يصبح رقمها صفرًا وينتقل الواحد إلى اليسار، وقد يتكرر الحمل عبر عدة منازل.^[1]

في 9.96، ننظر إلى رقم أجزاء المئة وهو 6. زيادة 9 أعشار تعطي عشرًا كاملًا؛ لذلك نكتب 9.96 ≈ 10.0 إلى الأعشار. ولتقريب 998 إلى العشرات نختار 1000، فالحمل هنا غيّر أكثر من رقم.

حالة المنتصف تحتاج قاعدة معلنة. اختيار الأقرب مع كسر التعادل بعيدًا عن الصفر يختلف عن اختيار الزوجي الأقرب، ويختلف عن الاتجاه دائمًا نحو القيم الموجبة.^[2]

نقرّب −4.25 إلى الأعشار وفق القاعدة المعتمدة هنا: المرشحان −4.3 و −4.2، والمسافة إلى كل منهما 0.05. نختار −4.3 لأنها أبعد عن الصفر. أما −4.24 فليست حالة تعادل؛ تبعد 0.04 عن −4.2 و 0.06 عن −4.3، فنختار −4.2.

ما حد الخطأ، ولماذا نؤجل التقريب؟

إذا كانت المسافة بين قيمتي التقريب المتتاليتين 0.1، كانت أبعد نقطة عن القيمة الأقرب هي المنتصف، ومسافتها 0.05. وبالمثل، عند خطوة 10 يكون الحد 5. هذه نتيجة مقارنة المسافتين على خط الأعداد، وتخص التقريب إلى الأقرب.

في مثالنا 6.27 + 3.27 = 9.54؛ تقريب الناتج إلى الأعشار يعطي 9.5. إذا قرّبنا المدخلين أولًا، صار الجمع 6.3 + 3.3 = 9.6. الفرق بين النتيجتين 0.1، مع أن كل عملية تقريب منفردة اتبعت القاعدة نفسها.

لذلك نحتفظ بالقيم الأصلية خلال هذا الحساب، ونقرّب في النهاية إلى المنزلة المطلوبة. ولعرض الناتج التقريبي نستخدم الرمز ≈؛ فالكتابة 6.27 = 6.3 مساواة غير صحيحة.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: الأرقام المعنوية: كيف تعد الأصفار وتقرّب نتائج الحساب؟