لوغاريتم حاصل ضرب سالبين: هل يجوز فصل اللوغاريتمين؟

لوغاريتم حاصل ضرب سالبين قد يكون معرفًا؛ فصله قد يفقد حلًا صحيحًا. مثال مؤلف في الأعداد الحقيقية. [1][2]

الخلاصة السريعة

لا نفصل إلى لوغاريتمين حقيقيين لعاملين سالبين. [1]

• قاعدة log_b(uv)=log_b(u)+log_b(v) تتطلب u>0 وv>0، مع b>0 وb≠1. إيجابية uv وحدها لا تكفي للفصل. [1]
• لنضع L(x)=log₂((x−2)(x+1)) ونحل L(x)=2. المجال هو (x−2)(x+1)>0: إما x<−1 أو x>2؛ الطرفان مستبعدان. العاملان سالبان في الفرع الأول وموجبان في الثاني. [2]
• نحول مباشرة إلى (x−2)(x+1)=4، ثم x²−x−6=0، أي (x−3)(x+2)=0. الحلّان x=3 وx=−2 داخل المجال. [2]
• عند x=−2 العاملان −4 و−1، وحاصلهما 4؛ لوغاريتم الحاصل 2. أما log₂(x−2)+log₂(x+1)=2 فمجاله x>2، وحله 3 فقط. الفصل غيّر المسألة وفقد −2. [1][2]
• على المجال الأصلي تصح L(x)=log₂|x−2|+log₂|x+1|؛ فضرب القيمتين المطلقتين يعطي القيمة المطلقة للحاصل، وهو موجب هناك. نطبق القاعدة على قيم مطلقة موجبة. [1]
• صيغة القيم المطلقة وحدها معرفة لكل x≠−1 وx≠2. عند x=0 تعطي log₂(2)+log₂(1)=1، بينما الحاصل الأصلي −2، فلا لوغاريتم حقيقي له. احتفظ بالمجال الأصلي عند استعمالها. [1]

المراجع

1. OpenStax: شرط قاعدة الضرب
2. OpenStax: حل المعادلات والتحقق

تمارين المجال والمعادلات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.