تمارين على الدالة اللوغاريتمية: المجال والحساب وحل المعادلات

تمرين 1: مجال وقيم دالة مزاحة

لتكن f(x)=log_3(x−2). شرط الحجة x−2>0 يعطي المجال x>2. لا نضم 2 إلى المجال؛ عنده تصبح الحجة صفرًا واللوغاريتم غير معرف. ^[1]

عند x=11 تكون f(11)=log_3(9)=2، وعند x=3 تكون f(3)=log_3(1)=0. صفر الدالة هنا 3، أما حد المجال 2 فليس صفر الدالة. التفريق بين النقطة على المحور وحد المجال يمنع خلطًا شائعًا.

تمرين 2: تحويل اللوغاريتم إلى قوة

حل log_4(2x+1)=2. المجال 2x+1>0 أي x>−1/2. من تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x+1=4²=16، ثم x=15/2، أي 7.5. ^[2]

بالتعويض تكون الحجة 16 موجبة، ولوغاريتمها للأساس 4 يساوي 2. كتابة الناتج العددي وحده لا تظهر هذا الفحص، ولهذا نسجله في نهاية الحل.

تمرين 3: مرشح جبري لا يقبله المجال

حل log_2(x−1)+log_2(x+2)=log_2(18). المجال يتطلب x>1 و x>−2 معًا، أي x>1. داخل هذا المجال يمكن دمج الجمع في لوغاريتم حاصل الضرب. ^[2][3]

نحصل على (x−1)(x+2)=18، ثم x²+x−20=0، ثم (x−4)(x+5)=0. المرشحان x=4 و x=−5. نختار 4 لأنه في المجال؛ حجتاه 3 و 6، وحاصل ضربهما 18.

عند −5 تكون الحجتان −6 و −3، فهما لا تقبلان لوغاريتمين حقيقيين رغم أن حاصل ضربهما 18 موجب. إيجابية الحاصل بعد الدمج لا تكفي لتغيير مجال التعبير الأصلي. الرسم الرئيس يوضح هذا الفحص.

تمرين 4: طرح اللوغاريتمات

حل ln(x)−ln(x−3)=ln(4). المجال x>3. نستعمل قاعدة القسمة لنحصل على ln(x/(x−3))=ln(4)، ثم x/(x−3)=4. ^[2][3]

إذن x=4x−12 ومنها x=4. الحجتان 4 و 1 موجبتان، والطرف الأيسر ln(4)−ln(1)=ln(4). لا تكتب فرق اللوغاريتمين على صورة ln(x−(x−3))؛ العملية المقابلة هنا قسمة لا طرح داخل الحجة.

تمرين 5: حل سالب قد يكون صحيحًا

حل log_3(x+4)=1. المجال x>−4، والتحويل الأسي يعطي x+4=3 ثم x=−1. العدد −1 داخل المجال؛ الحجة تصبح 3، ولوغاريتمها يساوي 1.

الممنوع هو حجة صفرية أو سالبة في اللوغاريتم الحقيقي، وليس أن تكون قيمة المتغير سالبة دائمًا. لذلك لا نرفض جوابًا لمجرد إشارته؛ نفحص ما داخل اللوغاريتم في المسألة نفسها. ^[1]

تمرين 6 وتدريب ذاتي

في log_5(3x+1)=log_5(x+9) يلزم x>−1/3. الأساس واحد، فنساوي الحجتين: 3x+1=x+9، فيكون x=4. بالتعويض كلاهما 13، ولذلك تتحقق المساواة. ^[2]

جرب وحدك log_2(4x−3)=3 و ln(x+2)+ln(x−1)=ln(10). الأول يعطي x=11/4 وحجة 8. الثاني مجاله x>1، ويعطي المرشحين 3 و −4 من x²+x−12=0؛ الحل المقبول 3 بحجتين 5 و 2.

رتب ورقة الحل بهذه الصورة: مجال أصلي، تحويل صحيح، مرشح أو مرشحان، فحص في الأصل، ثم مجموعة الحل. هذه الخطوات تجعل رفض الحل الدخيل مبررًا، لا إجراء شكليًا بعد الحساب.