حل المعادلات الأسية: توحيد الأساس واللوغاريتم والتعويض

متى نساوي الأسين؟

إذا كان الأساس b موجبًا وغير 1، فالدالة b^x تقابل كل قيمة ناتج بقيمة أس واحدة. لذلك b^S=b^T تعني S=T. لا نساوي الأسين قبل توحيد الأساس، ولا نستخدم هذا الاستنتاج لأساس 1 لأنه يعطي 1 لكل أس. ^[1]

في 4^(x−1)=2^(x+1) نكتب 4 على صورة 2²، فيصبح الطرف الأول 2^(2x−2). إذن 2x−2=x+1 ومنها x=3. بالتحقق نحصل على 4²=16 و 2⁴=16. رسم المنحنيين يعرض التقاطع نفسه.

اعزل القوة قبل أخذ اللوغاريتم

لحل 3·5^(2x−1)=21 نقسم الطرفين على 3 أولًا: 5^(2x−1)=7. ثم نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، فنحصل على (2x−1)ln(5)=ln(7) باستعمال قاعدة القوة. ^[1][2]

بالتالي x=(1+ln(7)/ln(5))/2≈1.1045. القيمة الدقيقة هي الصيغة ذات اللوغاريتم، أما العدد العشري تقريب. الاحتفاظ بالصيغ الدقيقة حتى نهاية الحل يقلل خطأ التقريب.

لا تجعل ln(3·5^(2x−1)) مساويًا 3 مرات لوغاريتم القوة؛ لوغاريتم الضرب يتفكك إلى مجموع. عزل القوة يجعل المعادلة أقصر ويقلل هذه الأخطاء. ^[2]

تعويض قوة متكررة بمتغير جديد

انظر إلى 3^(2x)−10·3^x+9=0. بما أن 3^(2x)=(3^x)² نضع u=3^x. المعادلة تصبح u²−10u+9=0، أي (u−1)(u−9)=0، فتنتج u=1 أو u=9.

نعود إلى x: من 3^x=1 نجد x=0، ومن 3^x=9 نجد x=2. كلا المتغيرين البديلين موجب، وكلا الحلين يحقق المعادلة الأصلية: عند 0 نحصل على 1−10+9=0، وعند 2 على 81−90+9=0.

هذا التعويض لا يسمح بكل قيمة حقيقية لـ u؛ لأنه قوة لأساس موجب، يجب أن u>0. إذا أعطت معادلة بديلة قيمة سالبة، نرفض هذا الفرع قبل محاولة كتابة لوغاريتم حقيقي له. ^[1][3]

أحيانًا لا يوجد حل حقيقي

المعادلة 5^x=−4 لا تقبل x حقيقيًا، لأن الطرف الأول موجب دائمًا. كذلك 5^x=0 لا تقبل قيمة حقيقية منتهية؛ الاقتراب من الصفر لا يساوي الوصول إليه. ^[3]

لكن لا تحكم من إشارة الناتج قبل عزل القوة: المعادلة −2·5^x=−10 تعطي 5^x=5 ثم x=1. الإشارة السالبة جاءت من معامل خارج القوة، ولم تغير مدى 5^x نفسه.

اختر الطريقة من شكل المعادلة

لا تفترض أن كل معادلة تحتوي أسًا تقبل إحدى هذه الخطوات وحدها. إذا اختلط المتغير خارج الأس وداخله، قد نحتاج طريقة عددية أو تحليلًا آخر. الطرق هنا تشرح الأشكال المعروضة، ولا تعد بحل رمزي بسيط لكل مسألة.

تدريب مع إجابات

حل 2^(2x+1)=32، و 7^x=11، و 4^x−5·2^x+4=0. في الأول 32=2⁵، فيكون x=2. في الثاني x=ln(11)/ln(7)≈1.2323.

في الثالث ضع u=2^x>0، فيصبح (u−1)(u−4)=0. إذن x=0 أو x=2. بالتعويض تعطي الحالتان صفرًا في الطرف الأيسر. اكتب القيود مع التعويض، ثم تحقق من جميع الحلول ولا تكتف بفرع واحد.