لولب فيرما: هل تساوي مساحة الحلقات يعني تساوي عرضها؟

الخلاصة السريعة

لا؛ في المثال r²=4θ/π، الحلقتان بين أنصاف الأقطار2√2 و4 و2√6 مساحة كل منهما8π وحدة مربعة، بينما عرضاهما4−2√2≈1.171573 و2√6−4≈0.898979 وحدة. المساحة تعتمد على فرق المربعين، والعرض على فرق الطولين.

• نقيس θ بالراديان، ونأخذ θ≥0. الصيغتان r=±2√(θ/π) تمثلان فرعين متقابلين؛ r إحداثي شعاعي موجه والمسافة إلى القطب |r|. ليست الزاوية السالبة هي ما يصنع الفرع الثاني.
• عند θ=π نجد P=(−2,0) مع r=2، وN=(2,0) مع r=−2. بتغيير الإشارة عند الزاوية نفسها نغير النقطة. المنحنى الكامل متناظر حول O؛ نرسم الجزء الموافق0≤θ≤4π من الفرعين فقط.
• التمثيل x=2t cos(πt²) وy=2t sin(πt²)، مع t حقيقي، يجمع الفرعين؛ θ=πt² وr=2t. عند t=0 يعطي O ومشتقة(2,0)، فالمماس y=0، والمرور منتظم وليس رأسًا مدببًا أو تقاطعًا ذاتيًا.
• على الفرع r≥0، أنصاف الأقطار عند θ=2πn هي R(n)=√(8n) للعدد الصحيح n≥0. تزداد مربعاتها8 كل دورة، لكن فروق أنصاف الأقطار تتناقص؛ لا نخلط هذه الدورة مع تداخل الفرعين معًا.
• مساحة الحلقة الدائرية بين R(n) وR(n+1) هي π(R(n+1)²−R(n)²)=8π. نختار الحلقتين2√2 إلى4، ثم4 إلى2√6؛ الأولى أعرض والثانية أبعد عن المركز. عند n=0 يكون الحد الداخلي صفرًا، فتكون المنطقة قرصًا.
• حلقة بين دائرتين تختلف عن منطقة يحدها قوس لولبي لدورة واحدة وقطعة شعاعية تصل طرفيه. على الفرع الموجب، مساحة المنطقة الأولى من0 إلى2π هي4π، والتالية من2π إلى4π هي12π وحدة مربعة؛ لا ننقل إليها العدد8π الخاص بالحلقات.

ابدأ بالمجال والإحداثي الشعاعي

المعادلة المرجعية للولب فيرما هي r²=a²θ. [1] نضع a=2/√π، فتكون r²=4θ/π. لأن مربع العدد الحقيقي غير سالب، يلزم θ≥0 لهذا الاختيار. لا نستبدل θ بقيمتها المطلقة كي نرسم زوايا سالبة.

نأخذ القطب O=(0,0)، والمحور الأفقي الموجب مرجعًا للزاوية، ونقيسها بالراديان عكس عقارب الساعة. نستخدم الإحداثيات القطبية في مستوى؛ يمكن تحويل الموضع إلى x=r cosθ وy=r sinθ.

عند θ موجبة، يوجد حلان r=2√(θ/π) وr=−2√(θ/π). [2] هنا r إحداثي شعاعي موجه، بينما البعد الهندسي عن O هو |r|. الإشارة السالبة تحدد الجهة المقابلة لشعاع الزاوية، ولا تصف مسافة سالبة.

الزاوية في معادلة المنحنى ليست مجرد اتجاه نختزله كيفما أردنا إلى دورة واحدة. إضافة2π تبقي اتجاه الشعاع، لكنها تغير الطرف4θ/π ونصف القطر المطلوب. لذلك نحفظ قيمة الزاوية التي تحدد اللفة.

كل الأطوال في المثال بوحدة طول واحدة، والمساحات بوحدتها المربعة. لا نفترض أنها أمتار أو سنتيمترات قبل تحديد الوحدة؛ الصور مخططات حسابية بالمقياس نفسه أفقيًا ورأسيًا داخل كل لوحة.

قيمتان عند الزاوية نفسها تعطيان نقطتين

نختار θ=π. يصبح r²=4، فتكون r=2 أوr=−2. لأن cosπ=−1 وsinπ=0، تعطي القيمة الموجبة P=(−2,0)، وتعطي السالبة N=(2,0). لا تحدد القيمتان النقطة نفسها عند تثبيت الزاوية.

عند θ=π/4 نحصل على r=±1. ينتج K=(1/√2,1/√2)، ونظيرها L=(−1/√2,−1/√2). الفرق بين الفرعين يظهر في الإحداثيين معًا؛ مربع المسافة من الأصل1 في الحالتين.

في كل زاوية صالحة، عكس إشارة r يعكس x وy. لذلك يبدل دوران نصف دورة حول O الفرعين ويحفظ المنحنى كله. هذا هو التناظر حول الأصل الوارد في المرجع. [1] لا نستنتج من ذلك تناظرًا حول كل خط يمر بالأصل.

مثلًا انعكاس P=(−2,0) حول y=−x يعطي (0,2). أي نقطة من المنحنى تبعد2 تحتاج θ=π، وتأتي من r=±2؛ رأينا أن النقطتين عند هذا البعد هما P وN. إذن (0,2) ليست على المنحنى، وذلك الانعكاس لا يحفظه.

عند θ=4π تعطي القيمة الموجبة R=(4,0)، والسالبة S=(−4,0). الرسم الرئيسي يعرض هذين الطرفين والجزء من كل فرع بين0 و4π. يمتد اللولب وراءهما؛ نهاية الخط المرسوم ليست نهاية المنحنى.

الجدول يجمع الأصل ونقطتي θ=π ونقطتي θ=4π. الأزرق للفرع الموجب، والذهبي للسالب. الفرع الموجب لا يظل في نصف المستوى الأيمن؛ موجب هنا وصف r، لا وصف الإحداثي x.

معامل منتظم يوضح المرور عند الأصل

لتجنب اشتقاق الجذر عند θ=0 نضع θ=πt² وr=2t، حيث t أي عدد حقيقي. ينتج x=2t cos(πt²) وy=2t sin(πt²). القيم الموجبة لـt ترسم الفرع الموجب، والسالبة ترسم الآخر.

المعامل t ليس الزاوية ولا الزمن. عند t=1 تكون θ=π ونصل إلى P، وعند t=−1 تبقى θ=π ونصل إلى N. لذلك السماح بـt سالب لا يعني السماح بـθ سالبة في المعادلة الأصلية.

نشتق: x′=2cos(πt²)−4πt²sin(πt²)، وy′=2sin(πt²)+4πt²cos(πt²). عند t=0 نجد x=y=0 والمشتقة(2,0)، وهي غير صفرية. المماس عند الأصل هو y=0.

مقدار المشتقة2√(1+4π²t⁴)، وهو موجب لكل t. لذلك المرور عند O منتظم في هذا التمثيل، رغم أن صيغة الجذر لا تعطي مشتقة محدودة بالنسبة إلى θ هناك. اختيار معامل آخر يكشف الهندسة دون حذف نقطة صحيحة.

لا يوجد مرور ثانٍ عند O: البعد عن الأصل2|t|، فلا يصبح صفرًا إلا عند t=0. ولو أعطى معاملان نقطة غير الأصل نفسها، لتساوت قيمتاهما المطلقتان؛ الإشارتان المتعاكستان تعطيان نقطتين متعاكستين لا نقطة واحدة.

إذن الأصل ليس تقاطعًا ذاتيًا ولا رأسًا مدببًا. الخط الأخضر في الرسم مماسه الأفقي؛ لا نفسر اجتماع اللونين عند O بوصفه تقاطعًا بمماسين مختلفين. نحن نصل جزأي مرور واحد منتظم.

اتبع دورات الفرع الموجب وحده

نركز الآن على الفرع r≥0. عند θ=2πn، مع n عدد صحيح غير سالب، يكون نصف القطر R(n)=√(8n). هذه نقاط نهاية دورات كاملة تبدأ من الاتجاه الأفقي الموجب؛ الرمز R(n) طول، وليس اسم نقطة الجدول R.

تظهر القيم0 ثم2√2 ثم4 ثم2√6 عند n=0 و1 و2 و3. مربعاتها0 و8 و16 و24؛ كل دورة تضيف8 إلى المربع. لكن أنصاف الأقطار نفسها لا تزيد بمقدار8 أو بمقدار ثابت آخر.

فرق نصفَي القطر المتتاليين هو √(8(n+1))−√(8n). بضرب البسط والمقام في مجموع الجذرين يصبح8/(√(8(n+1))+√(8n)). المقام يزداد مع n، فيتناقص الفرق ويبقى موجبًا.

بين2√2 و4 يكون الفرق4−2√2≈1.171573. وبين4 و2√6 يكون2√6−4≈0.898979. كلاهما عرض شعاعي بوحدة طول، لا مساحة ولا طول قوس اللولب.

هذه مقارنة لدورات الفرع الموجب. عند جمع الفرعين تدخل نقاط أخرى على الشعاع نفسه من الفرع السالب؛ لا نسمي كل تقاطع مرئي دورة كاملة للفرع الذي اخترناه. المعادلة وقيمة الزاوية تحددان تسلسل المقارنة.

مساحتان متساويتان وعرضان مختلفان

نرسم دوائر مركزها O وأنصاف أقطارها R(n). المساحة بين دائرتين متتاليتين هي مساحة القرص الكبير ناقص الصغير: π(R(n+1)²−R(n)²). لأن فرق المربعين8، يكون الناتج8π في كل مرة.

الحلقة الأولى المختارة بين2√2 و4 تعطي π(16−8)=8π. الحلقة التالية بين4 و2√6 تعطي π(24−16)=8π أيضًا. المنطقة الثانية أبعد عن المركز، لكنها أضيق شعاعيًا كما أثبت فرق الطولين.

يمكن كتابة فرق المربعين حاصل ضرب الفرق في المجموع: المساحة=π(R(n+1)−R(n))(R(n+1)+R(n)). ازدياد مجموع نصفَي القطر يتيح بقاء المساحة ثابتة مع تناقص الفرق؛ هذا يفسر النتيجة دون تقدير مساحة اللون في الصورة.

لا نستنتج تساوي العرض من تساوي المساحة. فالعرض الأول نحو1.171573، والثاني نحو0.898979، مع المساحة8π≈25.132741 وحدة مربعة لكل منهما. نقارن أطوالًا بالأطوال ومساحات بالمساحات.

عند n=0 يكون R(0)=0، فالمنطقة من0 إلى2√2 قرص كامل مساحته8π، وليست حلقة ذات فتحة موجبة. اخترنا n=1 وn=2 في الصورة الداخلية حتى تكون الحلقتان واضحتين حول القرص الداخلي.

الصورة الداخلية تعرض ثلاث دوائر وحدود الحلقتين وقطعتين على شعاع واحد لعرضيهما. لا تعرض قوسين من اللولب بوصفهما دائرتين؛ الدوائر أداة مقارنة مشتقة من أنصاف الأقطار عند زوايا محددة.

حدد حدود المنطقة قبل تكامل المساحة

الحلقة السابقة محصورة بين دائرتين كاملتين. أما قوس اللولب فيغير نصف قطره خلال الدوران؛ لا يحيط وحده بحلقة دائرية. إذا أردنا مساحة منطقة مرتبطة به، نحدد القوس وخط إغلاقه أولًا.

نختار قوس دورة واحدة من الفرع الموجب، من زاوية α إلىβ=α+2π، ثم نصل طرفيه بالقطعة الشعاعية على الاتجاه المشترك. عند α=0 تبدأ المنطقة من الأصل؛ وعند α=2π يبدأ القوس بعيدًا عنه، والقطعة تصل نصفَي قطر مختلفين.

مساحة المنطقة ذات هذا الحد هي نصف تكامل r² من α إلىβ. بوضع r²=4θ/π نحصل على (β²−α²)/π. قطعة الإغلاق شعاعية، فتضيف صفرًا إلى تكامل المساحة حول الحد، لكنها جزء ضروري من تعريفه.

للدورة الأولى α=0 وβ=2π، تكون المساحة4π. للدورة التالية α=2π وβ=4π، تكون12π. هذه منطقتان بحدين لولبيين مختلفين؛ لا تساوي أي منهما الحلقة الدائرية المختارة ذات المساحة8π.

الفارق12π−4π=8π يوافق فرق مساحتي المنطقتين، لكنه لا يجعل كل منطقة مساحتها8π. احتفظ بالحدود مع النتيجة: دائرتان تعطيان الحلقة، وقوس دورة مع قطعة شعاعية يعطي منطقة أخرى.

يراجع القارئ في كل حساب المجال، وإشارة r، والفرع، والزاويتين، وحد الإغلاق، ووحدة الجواب. في هذا المثال يكشف مربع نصف القطر تساوي مساحة الحلقات، ويكشف الجذر تناقص عرضها؛ أما الأصل فتبقى نقطة منتظمة موضحة بمعامل مستقل.