مبرهنة العلم البريطاني: مربعات المسافات إلى زوايا المستطيل

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة العلم البريطاني على أن مجموع مربعي المسافتين من نقطة إلى رأسين متقابلين في مستطيل يساوي المجموع للرأسين الآخرين: PA²+PC²=PB²+PD². تصح للنقطة الخارجية أيضًا. [1] المطلوب مربعات المسافات، ولا يعني ذلك تساوي مجموعي الأطوال أو ثبات قيمة المجموع عند تحريك النقطة.

• رتب رؤوس المستطيل حول حدوده A ثم B ثم C ثم D. الزوجان المتقابلان هما A مع C، و B مع D. في المثال A=(0,0)، B=(8,0)، C=(8,5)، D=(0,5)، والنقطة P=(2,3).
• مربعات المسافات PA²=13 و PB²=45 و PC²=40 و PD²=8. لذلك المجموعان 53. إذا كانت PD مجهولة، نحسب PD²=13+40−45=8، ثم PD=2√2؛ لا نكتب PD=8.
• لنقطة P=(x,y) ومستطيل بعداه a و b، تظهر الحدود x² و (x−a)² و y² و (y−b)² مرة في كل مجموع. لذلك تتساوى المجموعات بعد التوزيع مهما كانت الإحداثيات.
• عند Q=(10,7) خارج المستطيل، مربعات المسافات 149 و 53 و 8 و 104، والمجموعان 157. وعند A نفسه، تصبح المساواة 89=64+25. تساوي المجموعين مستمر، لكن قيمتهما تغيرت من 53 إلى 157.
• في متوازي الأضلاع A=(0,0)، B=(8,0)، C=(10,5)، D=(2,5)، يعطي P المجموعين 81 و 49. الفرق 32 يساوي 2u·v، حيث u=(8,0) و v=(2,5)، فلا تتساوى المجموعات لأن الضلعين غير متعامدين.
• الزوجان المتجاوران يعطيان 58 و 48 في المثال الأصلي، فلا تبدل الاقتران. التكبير بعامل 2 يجعل المجموعين 212. وبين متوازيات الأضلاع غير المنحلة تدل المساواة على زاوية قائمة، لكن مساواة عند نقطة واحدة لا تثبت أن أي رباعي مستطيل.

رتب الرؤوس واختر الزوجين المتقابلين

اختر المستطيل A=(0,0)، B=(8,0)، C=(8,5)، D=(0,5). طولا ضلعين متجاورين 8 و 5، والزوايا قائمة. ترتيب الحروف يمر حول الحد، فيكون A مقابل C، و B مقابل D؛ ليس ترتيبًا عشوائيًا للأسماء.

صل P=(2,3) بالرؤوس الأربعة. القطعتان PA و PC باللون الأزرق، والقطعتان PB و PD بالذهبي. كل لون يجمع وصلتين إلى رأسين متقابلين، ولا يدل على طولين متساويين منفردين.

المسافات هنا إلى الرؤوس، لا أعمدة إلى الأضلاع ولا أطوال أجزاء من المحيط. مثلًا أقصر مسافة من P إلى AB هي 3، بينما PA أطول وتحسب من فرق الإحداثيين. يجب تحديد طرفي المسافة قبل تربيعها.

لا يشترط أن تكون P مركز المستطيل أو نقطة تقاطع قطريه. اختيرت قرب الجهة اليسرى، حتى تختلف المسافات الأربع ويظهر أن المبرهنة علاقة بين مجموعين، لا تماثلًا خاصًا بسبب موضع المركز.

احسب مربعات المسافات ثم استخرج المجهول

من P إلى A، فرق الإحداثيين (−2,−3)، لذلك PA²=2²+3²=13. وإلى B، الفرق (6,−3)، فيكون PB²=6²+3²=45. وإلى C، الفرق (6,2)، فيكون PC²=6²+2²=40.

وإلى D، الفرق (−2,2)، فيكون PD²=2²+2²=8. يجمع الجدول القيم الأربع، ومنها PA²+PC²=13+40=53 و PB²+PD²=45+8=53. نحافظ على الاقتران المتقابل عند التعويض.

لو كانت المسافة PD مجهولة، وكانت المربعات الثلاثة الأخرى 13 و 45 و 40، لأعطت المبرهنة PD²=13+40−45=8. نأخذ الجذر غير السالب فنجد PD=2√2. القيمة 8 تخص مربع الطول؛ إذا كانت وحدة الطول سنتيمترًا، فالمربع بوحدة سنتيمتر مربع.

لا تنتج مساواة مجموعي الأطوال من مساواة مجموعي مربعاتها. في المثال PA=√13 و PC=2√10، بينما PB=3√5 و PD=2√2. لذلك لا نزيل الأسس من المعادلة أو نوزع الجذر على جمع قيمتين.

الحدود نفسها تظهر في المجموعين

ضع A=(0,0)، B=(a,0)، C=(a,b)، D=(0,b)، حيث a و b موجبان، و P=(x,y). صيغة المسافة تعطي PA²=x²+y² و PB²=(x−a)²+y². كما تعطي PC²=(x−a)²+(y−b)² و PD²=x²+(y−b)².

في مجموع PA²+PC² توجد الحدود الأربعة x² و y² و (x−a)² و (y−b)². وفي مجموع PB²+PD² نجد الحدود نفسها بترتيب آخر. لذلك يتساوى المجموعان دون افتراض أن x و y يقعان بين أبعاد المستطيل.

هذه حجة جبرية لجميع الإحداثيات في مستوى المستطيل، لا فحص لنقطة واحدة. ويمكن اختيار محورين موازيين لضلعي أي مستطيل، فلا يتوقف البرهان على اتجاه الشكل على الورقة. تغيير اتجاه المستطيل لا يحول زواياه القائمة إلى زوايا مائلة.

يمكن كتابة المجموع المشترك على صورة 2x²+2y²−2ax−2by+a²+b². عند تغيير x أو y تتغير هذه القيمة عادة، لكن طرفي المساواة يتغيران معًا. لا توجد في البرهان خطوة تجعل مجموع المسافات المربعة ثابتًا لكل نقطة.

المساواة تبقى خارج المستطيل وتتغير قيمة المجموع

اختر Q=(10,7)، خارج الحدود اليمنى والعليا للمستطيل. مربعات المسافات QA²=149، QB²=53، QC²=8، QD²=104. إذن 149+8=53+104=157. لا تصبح المسافات المربعة سالبة بسبب وقوع النقطة خارج الشكل.

عند تحريك P إلى Q، ارتفعت قيمة المجموع المشترك من 53 إلى 157. المبرهنة لا تقول إن 53 ثابت لكل نقطة؛ تقول إن المجموع المحسوب للزوج A و C يساوي المجموع للزوج B و D عند النقطة نفسها.

وعند اختيار النقطة A، تكون المسافة إلى A صفرًا، وإلى C هي طول القطر. تصبح المساواة AC²=AB²+AD²، وفي مثالنا 89=64+25. لا نحتاج استبعاد الرأس من الحساب؛ الصفر هنا مربع مسافة صحيح.

البرهان الإحداثي يسمح بهذه الحالات لأن التربيع يستعمل فروق الإحداثيات نفسها داخل الشكل وخارجه. وهذا يختلف عن جمع مسافات عمودية غير موجهة إلى أضلاع مثلث، حيث قد يغير الانتقال إلى الخارج قاعدة الجمع.

متوازي الأضلاع المائل يضيف فرقًا ثابتًا

نغير D إلى (2,5) و C إلى (10,5)، ونبقي A و B و P كما هي. الشكل متوازي أضلاع، لأن الضلعين المتجاورين من A هما u=(8,0) و v=(2,5)، والضلع المقابل ينتج بجمعهما. لكن u·v=16، فلا تكون الزاوية عند A قائمة.

الآن PA²=13، PB²=45، PC²=68، PD²=4. المجموع الأول 81 والثاني 49، والفرق 32. الصورة المقارنة تستعمل مقياسًا واحدًا، فلا ينشأ الفرق من تغيير حجم الرسم.

لأي متوازي أضلاع محدد بالمتجهين u و v، تكون الهوية PA²+PC²−PB²−PD²=2u·v. [1] عند التوزيع تلغى الحدود التي تخص موضع P. في مثالنا 2u·v=32، لذلك يبقى الفرق 32 عند نقل P إلى Q أيضًا؛ تصبح المجموعات 153 و 121.

إذا كان u و v غير صفريين، يساوي الضرب الداخلي صفرًا بالضبط عندما يتعامدان. إذن ضمن متوازيات الأضلاع، تعود مساواة المجموعين عندما يصبح الشكل مستطيلًا. هذا الاستنتاج يحتاج شرط متوازي الأضلاع قبل استعماله.

الاقتران الصحيح وحدود الاستنتاج وتغير المقياس

لا تجمع رأسين متجاورين بدل المتقابلين. في المستطيل الأصلي PA²+PB²=58، بينما PC²+PD²=48. الخطأ هنا في توزيع الرؤوس على المجموعين؛ لا يمثل ذلك حالة تفشل فيها المبرهنة.

كذلك لا تختبر نقطة واحدة في رباعي مجهول ثم تستنتج أنه مستطيل. خذ A=(0,0)، B=(8,0)، C=(6,5)، D=(2,5)، والنقطة (4,3). يعطي الزوجان المتقابلان المجموع 33 في الحالتين، مع أن الشكل شبه منحرف وليس متوازي أضلاع: منتصَفا القطرين مختلفان.

في المستطيل الأصلي المركز O=(4,5/2). المجموع المشترك يساوي 2PO²+89/2؛ فيكون أصغر ما يمكن 89/2 عند O. وفي P=(2,3)، مربع PO هو 17/4، فيعيد التعبير 53. هذا يوضح تغير المجموع مع موضع النقطة، مع بقاء المساواة بين الزوجين.

إذا كبرنا الإحداثيات كلها بعامل 2، تصبح المسافات ضعف الأصل ومربعاتها أربعة أمثاله. المجموعان في مثال P يصبحان 212. أما إزاحة الشكل والنقطة بمقدار (1,−2)، أو دورانهما معًا بزاوية قائمة، فتحفظ مربعات المسافات نفسها.

ابدأ بتثبيت ترتيب الرؤوس وتحقق من الزوايا القائمة. احسب مربعات المسافات إلى الرؤوس الأربعة، واجمع المتقابلين. عند استخراج مسافة مجهولة خذ الجذر بعد حساب مربعها، ولا تحول اختبارًا خاصًا عند نقطة واحدة إلى تعريف عام لشكل رباعي.