مبرهنة رول: افحص الشروط قبل البحث عن المماس الأفقي

الشروط تخص فترتين مختلفتين

الاتصال على[a,b]، والاشتقاق على(a,b)، ومساواةf(a)=f(b). النقطةc داخلية: a<c<b. [1]

الاتصال عند الطرف الأيسر يفحص بالنهاية من اليمين، وعند الأيمن بالنهاية من اليسار. وجود قيمة مكتوبة للطرف لا يكفي إذا اختلفت عنها نهاية الدالة من داخل الفترة. [3]

خذ f(x)=(x−1)(x−4)=x²−5x+4 على[1,4]؛ كثيرة حدود متصلة وقابلة للاشتقاق، معf(1)=f(4)=0. الشروط متحققة. [1]

بعد إتمام الفحص نحسب المشتقة؛ لا نستدل على تحقق الشروط فقط من العثور على قيمة تصفرها.

المشتقة صفر لا تعني أن الدالة صفر

باشتقاق القوى نحصل على f′(x)=2x−5، ومن2c−5=0 نجدc=5/2. وهي داخل(1,4)، لأن1<5/2<4. [2]

نحسب قيمة الدالة: f(5/2)=(3/2)(−3/2)=−9/4. المماس عند هذه النقطة أفقي، ومعادلتهy=−9/4؛ لا يقع على محور السينات.

في الأصل f(x)=0 يعطيx=1 أوx=4. أما f′(x)=0 فيعطيx=5/2. المعادلتان مختلفتان، وتظهر النقطتان الطرفيتان على ارتفاع0، والنقطة الداخلية على ارتفاع−9/4.

تساوي قيمتي الطرفين لا يعني أن قيمتيهما يجب أن تكونا صفرًا. مثلًا H(x)=(x−2)²+5 على[1,3] لهH(1)=H(3)=6 ومشتقة2x−4؛ تتحقق النتيجة عندc=2، حيثH(2)=5.

الحساب يعطي نقطة واحدة؛ رول لا تضمن وحدانيةc. [1]

مثال فيه نقطتان داخليتان

نختار G(x)=(x−1)(x−3)(x−5) على[1,5]. الطرفان يصفرانها، وهي كثيرة حدود متصلة وقابلة للاشتقاق.

التوزيع يعطي G(x)=x³−9x²+23x−15، ولذلك G′(x)=3x²−18x+23. نحل3c²−18c+23=0؛ المميز324−276=48، فتكونc=(18±4√3)/6=3±2√3/3.

كلتاهما داخل(1,5)، لأن2√3/3<2، أي√3<3. تقريبًا هما1.8453 و4.1547.

يمكن تطبيق رول على[1,3] و[3,5] أيضًا. [1]

القيمةx=3 تصفرG، لكنها لا تصفرG′: نحصل على27−54+23=−4. حتى الجذر الأوسط ليس بالضرورة نقطة المماس الأفقي.

المبرهنة تضمن الوجود؛ حل المشتقة هنا يحدد نقطتين مختلفتين بالضبط.

ماذا يحدث إذا غاب شرط؟

لدينا V(x)=|2x−3| على[0,3]، معV(0)=V(3)=3. وهي متصلة؛ تساوي3−2x قبل3/2 و2x−3 بعدها، بمشتقتين−2 و2. عند3/2 لا مشتقة؛ لا نقطة داخلية مشتقتها صفر. شرط الاشتقاق يفشل. [1]

ولعزل شرط الاتصال، عرّفJ(x)=x عندما0≤x<1، وJ(1)=0، على[0,1]. إذنJ(0)=J(1)=0، ومشتقتها1 في(0,1)، لكنها غير متصلة عند1 لأن نهايتها من اليسار1 تختلف عن القيمة0. [3]

تغير النقطة الطرفية لا يجعل الخط في الداخل ذا مشتقة صفر؛ الرسم يحتاج دائرة مفتوحة عند(1,1) ونقطة مغلقة عند(1,0).

وأخيرًا L(x)=x على[0,1] متصلة وقابلة للاشتقاق، لكنL(0)=0 وL(1)=1 غير متساويتين. مشتقتها1، فلا تحقق نتيجة رول؛ المفقود هذه المرة مساواة الطرفين فقط.

الشروط كافية للضمان، وليست اختبارًا عكسيًا. حدد الفترة وافحصها، ثم حلf′(x)=0 واختر القيم الداخلية.

مثلًا N(x)=x² على[−1,2] طرفاه1 و4 غير متساويين، لكنN′(0)=0 والنقطة0 داخل الفترة.