عدد مراحل هندسي: لماذا يبقى مجموع الأزمنة أسيًا؟

مجموع أزمنة بعدد مراحل هندسي يبقى أسيًا تحت فروض الاستقلال التالية. [1]

الخلاصة السريعة

نعم، بالمعدل pλ. [1]

أزمنة مستقلة X_i~Exp(λ)؛ معدل مشترك منتهٍ λ>0 بالدقيقة⁻¹، بلا إزاحة. N مستقل عن المتتالية كلها؛ S=Σ(i=1..N)X_i بالدقائق. [1][2][4]
P(N=n)=p(1−p)^(n−1) لـn=1,2,...، و0<p<1. العدد هندسي موجب؛ يشمل مرحلة النجاح، وليس عدد الإخفاقات. [3]
بشرط N=n، كثافة المجموع f_n(t)=λ^n t^(n−1)e^(−λt)/(n−1)! لـt>0. غاما بالشكل n والمعدل λ؛ عدد مراحل ثابت. [2][4]
نخلط الكثافات: h(t)=Σ(n≥1)P(N=n)f_n(t)=pλe^(−pλt) لـt>0؛ وصفر خارجه. إذن S~Exp(pλ)، وF(t)=1−e^(−pλt) لـt≥0، وصفر قبله؛ P(S=0)=0. [1][2][3]
للأمثلة المؤلفة λ=2,p=0.25,0.5,0.75، F(1)≈0.393469,0.632121,0.776870. تثبيت N=2 يعطي كثافة λ²te^(−λt)؛ ليست أسية. لا نعمم على عدد آخر أو تابع للأزمنة. [1][2][4]

ثبت الأزمنة والاستقلال

أزمنة مستقلة X_i~Exp(λ)؛ معدل مشترك منتهٍ λ>0 بالدقيقة⁻¹، بلا إزاحة. N مستقل عن المتتالية كلها؛ S=Σ(i=1..N)X_i بالدقائق. [1][2][4]

حدد العدد

P(N=n)=p(1−p)^(n−1) لـn=1,2,...، و0<p<1. العدد هندسي موجب؛ يشمل مرحلة النجاح، وليس عدد الإخفاقات. [3]

شرط على عدد معلوم

بشرط N=n، كثافة المجموع f_n(t)=λ^n t^(n−1)e^(−λt)/(n−1)! لـt>0. غاما بالشكل n والمعدل λ؛ عدد مراحل ثابت. [2][4]

اجمع الخليط

نخلط الكثافات: h(t)=Σ(n≥1)P(N=n)f_n(t)=pλe^(−pλt) لـt>0؛ وصفر خارجه. إذن S~Exp(pλ)، وF(t)=1−e^(−pλt) لـt≥0، وصفر قبله؛ P(S=0)=0. [1][2][3]

قارن بعدد ثابت

للأمثلة المؤلفة λ=2,p=0.25,0.5,0.75، F(1)≈0.393469,0.632121,0.776870. تثبيت N=2 يعطي كثافة λ²te^(−λt)؛ ليست أسية. لا نعمم على عدد آخر أو تابع للأزمنة. [1][2][4]

تراكم المجموع — تراكم أصلي؛ المتقطع لمرحلتين ثابتتين. [1][2][3][4]

المراجع

العدد الهندسي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.