مجموع الانعطافات في مضلع مقعر: لماذا نحصل على 540 درجة؟

مجموع الانعطافات في مضلع مقعر يتوقف على حفظ اتجاه الدوران. نرسم سداسيًا مؤلفًا، ونقارن المجموع الموقع بمجموع مقادير الانعطافات. [1]

الخلاصة السريعة

في مثالنا: المجموع الموقع 360°، ومجموع المقادير 540°. [1]

• نسير مرة حول حدود مضلع بسيط مستوٍ دون تقاطع ذاتي. نأخذ انعطافًا واحدًا عند كل رأس، ونجعل اليسار موجبًا واليمين سالبًا. في المسار عكس عقارب الساعة يكون صافي الدوران دورة موجبة؛ لا نحول الانعطاف الأيمن إلى موجب قبل الجمع. [1]
• رؤوس مثالنا بالترتيب: A=(0,0)، B=(4,0)، C=(4,2)، D=(2,2)، E=(2,4)، F=(0,4)، ثم A. الشكل سداسي مقعر على هيئة حرف L، والمحوران بالمقياس نفسه. زاويته الداخلية عند D تساوي 270°؛ الخمس الأخرى 90°. [2]
• الانعطاف الموقع في اتجاهنا يساوي 180° ناقص الزاوية الداخلية. عند D: 180°−270°=−90°؛ نصل من C متجهين يسارًا، ثم نتجه إلى E إلى أعلى، فننعطف يمينًا. وعند كل رأس آخر: 180°−90°=90°. [2]
• الانعطافات مرتبة من A إلى F هي 90°، 90°، 90°، −90°، 90°، 90°. مجموعها 5×90°−90°=360°. أما جمع مقاديرها دون الإشارات فيعطي 6×90°=540°؛ هذا إجمالي أحجام الانعطاف، لا صافي الدوران. [1]
• اعكس المسار إلى A ثم F ثم E ثم D ثم C ثم B ثم A. تصبح الانعطافات الخمس −90°، والانعطاف عند D موجبًا 90°. الصافي −360°، ويبقى مجموع المقادير 540°. تغيير الاتجاه يغير الإشارة، ولا يغير الشكل. [1]
• التحقق الداخلي: 5×90°+270°=720°، ومن ثم 6×180°−720°=360° للانعطافات الموقعة في اتجاهنا. لا تقسّم 360° على ستة وتفترض كل انعطاف 60°؛ شكلنا غير منتظم. وحدد الإشارة والمسار قبل نقل قاعدة الزوايا الخارجية إلى مضلع مقعر. [2]

المراجع

1. Math Open Reference: زوايا المضلع الخارجية
2. Math Open Reference: العلاقة بين الداخلية والخارجية

خصائص السداسي المنتظم

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.