قشرة مخروط مغلقة: هل مركزها أخفض من المصمت؟

مركز كتلة قشرة مخروط مغلقة قد يكون أخفض من المصمت أو أعلى منه. [1]

الخلاصة السريعة

ليس دائمًا؛ ترتيب المركزين يعتمد على نسبة ارتفاع المخروط إلى نصف قطره. [1]

مخروط دائري قائم، R,H>0 سم منتهيان، والراسم L=√(R²+H²). القاعدة z=0 والرأس z=H؛ للمصمت ρ>0 غ/سم³ ثابتة؛ للقشرة المثالية بلا سماكة σ>0 غ/سم² ثابتة؛ x̄=ȳ=0. [1][2]
للمصمت، نصف قطر المقطع a(z)=R(1−z/H). تكامل dV=πa(z)²dz يعطي V=πR²H/3، وعزم الارتفاع Q_V=πR²H²/12؛ إذن z̄_V=H/4. [4]
للقشرة الجانبية دون القاعدة: dS=2πRL(1−z/H)dz/H، وS=πRL، وQ_S=πRLH/3. لذلك z̄_O=H/3؛ الكثافة الثابتة تلغى. [3]
نضيف قرص القاعدة بكثافة الجانب: كتلته σπR² عند z=0؛ للمغلقة z̄_C=HL/[3(L+R)]<H/3. [1][2]
الفارق z̄_C−z̄_V=H(L−3R)/[12(L+R)]. المغلقة أخفض إذا H<2√2R، وتساوي المصمت عند H=2√2R، وأعلى إذا H>2√2R. [1][2]
مثالان (R,H,L) سم، بترتيب المصمت/المفتوحة/المغلقة: (9,12,15)→(3,4,2.5) سم؛ (7,24,25)→(6,8,6.25) سم. تغير الكثافة والسماكة يحتاج حسابًا؛ مركز القشرة في الفراغ، ولا نحكم على الاستقرار. [1][2]

النموذج

مخروط دائري قائم، R,H>0 سم منتهيان، والراسم L=√(R²+H²). القاعدة z=0 والرأس z=H؛ للمصمت ρ>0 غ/سم³ ثابتة؛ للقشرة المثالية بلا سماكة σ>0 غ/سم² ثابتة؛ x̄=ȳ=0. [1][2]

مقاطع مجسمات، وليست صفائح. [2]

كامل شرائح المصمت

للمصمت، نصف قطر المقطع a(z)=R(1−z/H). تكامل dV=πa(z)²dz يعطي V=πR²H/3، وعزم الارتفاع Q_V=πR²H²/12؛ إذن z̄_V=H/4. [4]

Q_V=∫_[0,H]z dV بوحدة سم⁴؛ ضرب الحجم والعزم في ρ ثم قسمتهما يلغيها. [4]

زن سطح القشرة المفتوحة

للقشرة الجانبية دون القاعدة: dS=2πRL(1−z/H)dz/H، وS=πRL، وQ_S=πRLH/3. لذلك z̄_O=H/3؛ الكثافة الثابتة تلغى. [3]

بارامتر السطح (a(z)cosθ,a(z)sinθ,z) يعطي معيار ضرب المماسين a(z)L/H؛ التكامل الزاوي يضيف 2π. Q_S بوحدة سم³. [3]

أضف القاعدة

نضيف قرص القاعدة بكثافة الجانب: كتلته σπR² عند z=0؛ للمغلقة z̄_C=HL/[3(L+R)]<H/3. [1][2]

القرص يزيد الكتلة فقط. [1][2]

شرط التساوي

الفارق z̄_C−z̄_V=H(L−3R)/[12(L+R)]. المغلقة أخفض إذا H<2√2R، وتساوي المصمت عند H=2√2R، وأعلى إذا H>2√2R. [1][2]

للأطوال الموجبة: L=3R⇔H²=8R². [2]

انعكاس ترتيب المركزين — المعيار نسبة الراسم إلى نصف القطر. [1][2]

المثالان والحدود

مثالان (R,H,L) سم، بترتيب المصمت/المفتوحة/المغلقة: (9,12,15)→(3,4,2.5) سم؛ (7,24,25)→(6,8,6.25) سم. تغير الكثافة والسماكة يحتاج حسابًا؛ مركز القشرة في الفراغ، ولا نحكم على الاستقرار. [1][2]

حسابات، بلا تجربة. [1][2]

المراجع

راجع خصائص المخروط

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.