حساب مساحة الشكل البيضاوي: نصفا المحورين أولًا

الخلاصة السريعة

لحساب مساحة شكل بيضاوي من نوع القطع الناقص نستخدم A = πab؛ الحرفان a و b نصفا المحورين، لا طولاهما الكاملان. ^[1]

• للـقطع الناقص A = πab، حيث a و b نصفا المحورين. من المحورين الكاملين D و d: A = πDd/4. ^[1]
• في المثال المختار: المحوران 14 cm و 10 cm؛ النصفان 7 cm و 5 cm، والمساحة 35π ≈ 109.956 cm².
• استعمال 14 و 10 مباشرة يعطي 140π، أي أربعة أمثال مساحة المثال الصحيحة.
• تحجيم قرص الوحدة بعاملي a و b يضرب مساحته في ab؛ وعند a = b = r تصبح πr². ^[1]
• كلمة بيضاوي وحدها لا تؤكد أن الحد قطع ناقص؛ لا تطبق القانون على حد غير محدد بمجرد مظهره.

اقرأ المحور ونصفه من المركز

للناقص محوران متعامدان يمران بالمركز، وهو منتصف كل منهما. ^[2] لذلك فرق مهم بين المسافة عبر الشكل كله والمسافة من المركز إلى طرفه.

نختار طول المحور الأكبر 14 cm والأصغر 10 cm. نكتب a = 14/2 = 7 cm، و b = 10/2 = 5 cm. لا نستعمل نفس العدد لقياس كامل ونصفه.

ضع علامة عند المركز في الرسم، ثم تتبع القياس الذي أعطته المسألة. إذا امتد من طرف إلى الطرف المقابل فهو كامل؛ إذا بدأ من المركز فهو نصف. هذه القراءة تسبق ضرب الأعداد.

مثال أصلي وفحص الخطأ بأربعة أمثال

نعوض في المثال المختار: A = π × 7 × 5 = 35π cm². باستعمال قيمة π حتى النهاية نحصل على 109.955743… cm²، أو 109.956 cm² إلى ثلاث منازل.

الحساب π × 14 × 10 = 140π استعمل طولَي المحورين الكاملين. نقارن 140π/(35π) = 4؛ ليس الخطأ زيادة ضعفين فقط، لأن كل قياس تضاعف.

اختبار آخر: مساحة المستطيل المحيط بالمثال 14 × 10 = 140 cm². النتيجة 109.956 أصغر منها. لا يثبت هذا الاختبار وحده صحة قانون استعملناه، لكنه يكشف نتيجة تفوق المساحة المحتوية.

بصورة عامة، مساحة المستطيل 4ab ومساحة الناقص πab؛ النسبة π/4. ^[1] في مثالنا نحصل على 109.955743/140 ≈ 0.785398.

لماذا يظهر حاصل ضرب النصفين؟

نبدأ بقرص وحدة مساحته π؛ تحجيم الاتجاهين بعاملي a و b يضرب المساحة في ab، فتصير πab. هذا تفسير هندسي للقانون. ^[1]

في الرسم اخترنا x = 7u و y = 5v لقرص u² + v² ≤ 1. النتيجة منطقة x²/49 + y²/25 ≤ 1؛ أبعاد المثال محددة، ولا ننسبها إلى قياس قطعة أرض.

إذا تساوى النصفان نحصل على الدائرة وقانون πr². ^[1] أما شكل ذو حد مختلف فيحتاج وصفًا لحده أو طريقة قياس مناسبة؛ لا تمنحه مساحة قطع ناقص لمجرد تشابه ظله.

المطلوب هنا مساحة، لا محيط. ظهور π في الحساب لا يجعل الناتج طولًا؛ راجع cm² في الإجابة، وأبق علامة التقريب بجانب العدد العشري.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: القطوع المخروطية: الفرق بين الدائرة والناقص والمكافئ والزائد.