مساحة القطع الناقص المائل: هل العرض والارتفاع هما المحوران؟

حدد المحورين الحقيقيين

نفترض قطعًا ناقصًا بنصفي محورين a≥b>0 بالسنتيمتر. طولهما الكامل 2a و2b، والمساحة S=πab؛ لا يغيرها تدوير الشكل. [1]

ميز اتجاه إطار القياس

نرمز بـW وH لعرض أصغر مستطيل محيط وارتفاعه، وضلعاه أفقي ورأسي. إذا مال المحوران عنهما، فلا نضع W/2 وH/2 مكان a وb. [2]

احسب المساحة قبل الدوران

مثال مؤلف: a=5cm وb=3cm، والمساحة 15πcm²≈47.124cm². طولَا المحورين 10cm و6cm، ويبقيان كذلك بعد الدوران. [1]

اختبر العرض والارتفاع عند45°

عند دوران 45°، يصبح W=H=2√17cm≈8.246cm. استعمال πWH/4 يعطي 17πcm²≈53.407cm²؛ زيادة قدرها 2πcm²، أو نحو13.33% من المساحة الصحيحة. [2]

استخرج أبعاد المستطيل

للزاوية θ بين الأكبر والأفقي: W=2√(a²cos²θ+b²sin²θ)، وH=2√(a²sin²θ+b²cos²θ). هذه أبعاد المستطيل الثابت الاتجاه، وليست محوري الشكل. [1][2]

نكتب u=a cos t وv=b sin t على المحورين الحقيقيين. بعد الدوران x=u cosθ−v sinθ. أقصى مقدار x هو √(a²cos²θ+b²sin²θ)؛ ومضاعفته يعطي W. [1][2]

حدد متى يصح التعويض

للمستطيل المحدد هنا، πWH/4≥πab. تتحقق المساواة عندما a=b أو يتوازى المحوران مع الإحداثيات. لا يشمل ذلك إطارًا أوسع أو صورة مشوهة. [1][2]

بضرب مربعي النصفين: W²H²/16=a²b²+(a²−b²)²cos²θsin²θ. الحد المضاف غير سالب، وينعدم للدائرة أو عند sinθcosθ=0. هذا يفسر المتباينة وشروط المساواة. [1][2]