معادلة بيل: كيف نثبت أننا لم نفوّت حلًا صحيحًا؟

الخلاصة السريعة

نثبت الاكتمال بعكس التكرار. كل حل صحيح لـx²−2y²=1 مع x＞0 وy＞0 يتحول إلى(3x−4y,3y−2x)، وهو حل آخر له إحداثي ثانٍ غير سالب وأصغر من y. يتوقف هذا النزول عند(1,0)، ولذلك يعود كل حل إلى البداية نفسها، ويمكن توليده بالخطوة الأمامية.

• نقتصر على x وy صحيحين، وx＞0 وy≥0. البداية(1,0)، وأول حل له y＞0 هو(3,2). [1] نُبقي الحل ذي الصفر ظاهرًا حتى يتضح أين ينتهي البرهان، ثم نستعيد الإشارات الأخرى بانعكاس كل إحداثي مستقلًا.
• الخطوة الأمامية هي(X,Y)=(3x+4y,2x+3y). التعويض يثبت X²−2Y²=x²−2y²؛ ينتج التسلسل(1,0)،(3,2)،(17,12)،(99,70). صحة الأزواج المولدة وحدها لا تثبت أننا جمعنا كل الحلول.
• نعكسها بالخطوة(x′,y′)=(3x−4y,3y−2x). هي أيضًا تحفظ x²−2y²، وتعيد(17,12) إلى(3,2)، ثم تعيد(3,2) إلى(1,0). تغيير الإشارات داخل الصيغة بلا تحقق قد يفقد الحل أو المجال.
• إذا كان y＞0 فلا يمكن y=1، لأن x²=3. إذن y≥2، ومن x²=2y²+1 نحصل على √2＜x/y≤3/2. لذلك x′＞0 و0≤y′＜y؛ صفة النزول تحتاج هذه الحدود، لا حفظ المعادلة وحده.
• لا تنزل أعداد صحيحة غير سالبة نزولًا صارمًا إلى الأبد. يصل التكرار العكسي إلى y=0، وحينها x=1. وعكس الخطوات يعيد الحل الأصلي من(1,0)، فيثبت الاكتمال داخل المجال؛ لا نكتفي بفحص جدول محدود.
• بعد أول خطوة، Y=2x+3y＞3y، فتوجد حلول غير محدودة العدد. ولـy＞0 يكون x/y−√2=1/[y²(x/y+√2)]＞0 وأصغر من1/(2√2y²). النسبة تقترب من√2 من الأعلى، ولا ندعي أنها أفضل تقريب بين كل الكسور.

حدد المجال قبل توليد الحلول

في الحالة التي سنعالجها، نطلب x²−2y²=1 بأعداد صحيحة. قيمة D=2، والحل الموجب الأساسي ذو الإحداثي الثاني غير الصفري هو(3,2). [1] أما(1,0) فيحقق المعادلة أيضًا، وسنستعمله قاعدة واضحة للتكرار والنزول.

نختار المجال x＞0 وy≥0. لا نسمح بقيم كسرية للإحداثيين: النقطة(√3,1) تحقق المعادلة في الأعداد الحقيقية، لكنها ليست حلًا صحيحًا. ووجود منحنى متصل من النقاط الحقيقية لا يخبرنا وحده أين تقع الأزواج الصحيحة.

عند y=0 يلزم x²=1، ومع شرط x＞0 يبقى x=1. وعند y=1 يلزم x²=3؛ العدد3 يقع بين المربعين1 و4، فلا يوجد x صحيح. لذلك يبدأ الإحداثي الثاني الموجب من2 أو أكثر.

لإعادة كل الحلول الصحيحة بعد معالجة هذا المجال، نغير إشارة x أو y مستقلًا؛ التربيع لا يتغير. الحل ذي y=0 يعطي(1,0) و(−1,0)، والحل ذو y＞0 يعطي أربع إشارات. ولا يمكن x=0 لأن المعادلة ستصبح−2y²=1.

ولد حلولًا واحفظ المعادلة

نعرّف(X,Y)=(3x+4y,2x+3y). إذا كان x وy صحيحين، فإن X وY صحيحان أيضًا. نوسع المربعين فنحصل على(3x+4y)²−2(2x+3y)²=x²−2y²؛ إذ تلغى الحدود المختلطة، وتبقى معاملات x² وy² هي1 و−2.

إذن إذا كانت نقطة البداية تحقق المعادلة، فإن الخطوة الجديدة تحققها. كما أن X موجب وY غير سالب في مجالنا. البداية(1,0) تنتج(3,2)، ثم(17,12)، ثم(99,70)، ثم(577,408).

في الانتقال من(3,2)، نحسب X=3×3+4×2=17 وY=2×3+3×2=12. وفي فحص مستقل:17²−2×12²=289−288=1. لا نستعمل تقريبًا عشريًا للجذر كي نقرر صحة زوج صحيح.

كل انتقال يزيد y لأن Y−y=2x+2y＞0. وبعد أن يصير y موجبًا، نجد Y＞3y، فتستمر القيم في النمو ولا تتكرر نقطة. لهذا توجد حلول غير محدودة العدد في هذا المجال.

لكننا لم نثبت الاكتمال بعد. يمكن لعلاقة أن تنتج حلولًا صحيحة دون أن تمر بكل الحلول. الجدول يراجع أول خمس خطوات، أما السؤال عن أي زوج خارج الجدول فيحتاج برهانًا آخر.

اعكس الخطوة بدل التخمين

نعرّف(x′,y′)=(3x−4y,3y−2x). ترتيب الإحداثيين والإشارتين مهم. بالتوسيع نجد(3x−4y)²−2(3y−2x)²=x²−2y². لذلك تبقى المعادلة صحيحة، وتبقى الإحداثيات أعدادًا صحيحة.

الصيغتان متعاكستان فعلًا. تطبيق الخطوة الأمامية على(x′,y′) يعطي3x′+4y′=x و2x′+3y′=y. وتطبيق العكس بعد الخطوة الأمامية يعيد x وy أيضًا؛ معامل التحويل لا يسقط معلومات الزوج.

مثلًا، من(17,12) يعطي العكس x′=51−48=3 وy′=36−34=2. ومن(3,2) نجد x′=9−8=1 وy′=6−6=0. يمكن قراءة الأسهم الحمراء في الرسم الرئيسي بهذا الاتجاه.

لا نطبق العكس على(1,0) إذا أردنا البقاء في مجال y≥0؛ إذ سيعطي(3,−2). هذه هي نقطة توقفنا. حفظ المعادلة لا يعني تلقائيًا حفظ شرط عدم السلبية، ولهذا يجب أن نراجع المجال قبل كل ادعاء بالنزول.

أثبت أن الإحداثي الثاني ينزل فعلًا

خذ أي حل في المجال وله y＞0. أثبتنا أن y≥2. بقسمة x²=2y²+1 على y²، ومع x＞0، نحصل على x/y=√(2+1/y²). لذلك x/y＞√2، ومن1/y²≤1/4 نحصل على x/y≤3/2.

لإثبات x′＞0، نكتب x′=y(3x/y−4). الحد x/y＞√2 يعطي3x/y＞3√2＞4؛ آخر متباينة صحيحة لأن18＞16 والطرفين موجبان. إذن يبقى الإحداثي الأول موجبًا.

ولإثبات y′≥0 نكتب y′=y(3−2x/y). الحد x/y≤3/2 يجعل العامل غير سالب. وقد يساوي الصفر، كما في الزوج(3,2)؛ لا نغير الشرط إلى موجب فنفقد نهاية النزول.

ولإثبات y′＜y نستخدم x/y＞√2＞1، أي x＞y. عندئذ3y−2x＜y. وهكذا تحقق الخطوة العكسية الثلاثة معًا: x′＞0، وy′≥0، وy′＜y.

يمكن قياس النقص النسبي أيضًا:0≤y′/y＜3−2√2. هذا الحد موجب وأقل من1. الرسم الداخلي يعرض الحد على مقياس كامل ثم تكبير، ويضع قيمة1/6 الخاصة بالزوج(17,12). الحد الأعلى غير داخل المجال؛ علامة الدائرة المفتوحة تبين ذلك.

من النزول إلى جميع الحلول

ابدأ بحل صحيح اعتباطي في المجال، لا بحل مأخوذ من الجدول. إذا كان y=0 وصلنا إلى(1,0). وإذا كان y＞0، فإن الخطوة العكسية تعطي حلًا في المجال وإحداثيًا ثانيًا صحيحًا غير سالب وأصغر منه.

كرر العملية ما دام الإحداثي الثاني موجبًا. لا يمكن لسلسلة أعداد صحيحة غير سالبة أن تنقص بمقدار واحد على الأقل إلى الأبد؛ بعد عدد محدود من الخطوات يجب أن تصل إلى0. وعندها تفرض المعادلة والشرط x＞0 الزوج(1,0).

الآن اقرأ الخطوات في الاتجاه المعاكس. بما أن الخطوة الأمامية تعكس كل خطوة نزول، فإن الحل الذي بدأت به ينتج من(1,0) بعد عدد محدد من الخطوات الأمامية. هذا يثبت أن التسلسل يولد كل حلول المجال.

لا يقف البرهان عند قول إن الأزواج المدرجة صحيحة. حل خارج أول خمس قيم قد يكون صحيحًا، مثل(3363,2378)، لكن النزول يلحقه بالتسلسل نفسه. أما فحص y حتى100000 فيجد ثمانية أزواج بما فيها البداية؛ هذه مراجعة محدودة، لا برهان لكل الأعداد.

شروط المجال أساسية هنا: الإحداثي النازل صحيح وغير سالب، والخطوة تتوقف عند0 وتبقى قابلة للعكس. لو سمحنا بمجرد تناقص أعداد حقيقية موجبة، فلا يلزم الوصول إلى0؛ مثلًا أنصاف عدد موجب تستمر بلا نهاية.

استخرج تقريبًا وحدد حدود النتيجة

عندما y＞0، تقسم المعادلة على y² فتعطي(x/y)²−2=1/y². نحلل الطرف الأيسر إلى(x/y−√2)(x/y+√2)، وبما أن العامل الثاني موجب، ينتج x/y−√2=1/[y²(x/y+√2)].

الفارق موجب، ولذلك تكون كل نسبة من هذا التسلسل أعلى من√2. ولأن x/y＞√2، يكون المقام أكبر من2√2y²، فيصبح0＜x/y−√2＜1/(2√2y²).

الإحداثيات الثانية تتجه إلى ما لا نهاية بسبب النمو السابق؛ الحد الأعلى للفارق يتجه إلى0. إذن النسب تقترب من√2 من الأعلى. أول نسب موجبة هي3/2 ثم17/12 ثم99/70؛ كل قيمة كسر دقيق، وإن عرضنا قربها عشريًا للتوضيح.

هذه النتيجة لا تقول إن أي كسر قريب من√2 يحقق معادلة بيل، ولا تثبت أنه أفضل تقريب بين جميع الكسور. ولا نعمم البرهان على كل D أو على الطرف الأيمن−1؛ عالجنا D=2 والطرف الأيمن1 والمجال المعلن.

للمراجعة، افصل ثلاثة أسئلة: هل الزوج يحقق المعادلة؟ هل الخطوة تحفظ المجال؟ وهل أي حل يمكن إرجاعه إلى البداية؟ التوسع الجبري يجيب الأول، والمتباينات تجيب الثاني، والنزول الصحيح القابل للعكس يجيب الثالث.