كيفية حساب الجذر التربيعي: قيمة دقيقة أم تقريب عشري؟

ابدأ بالمربعات الكاملة

نعرف أن 1 و 4 و 9 و 16 و 25 ناتجة عن تربيع أعداد صحيحة. للبحث عن √121 نبحث عن العدد غير السالب الذي مربعه 121، فنجد 11. و √0 = 0؛ لذلك كلمة غير سالب أدق من القول إن الجذر موجب دائمًا. ^[1]

تحقق بتربيع الإجابة. فإذا ادعيت أن √144=12، يجب أن يساوي 12 × 12 العدد 144. لا تقسم العدد على 2؛ الجذر يعكس التربيع وليس المضاعفة.

استخرج عاملًا مربعًا كاملًا

إذا لم يكن العدد مربعًا كاملًا، فقد يمكن تبسيطه. في √50 = √(25 × 2) نستخرج √25 لنحصل على 5√2. هذه قيمة دقيقة، وليست 5.2 أو 5×2.

نعتمد هنا قاعدة √(ab) = √a × √b للأعداد غير السالبة a و b. لا نعممها على أعداد سالبة ضمن الحساب بالأعداد الحقيقية. ^[1]

وفي مثال آخر √72 = √(36 × 2) = 6√2. اختيار أكبر عامل مربع مناسب يوفر خطوات، لكن استخراج عامل مربع أصغر ثم متابعة التبسيط يؤدي إلى النتيجة نفسها.

احصر الجذر لتقدير قيمة عشرية

بما أن 7² = 49 و 8² = 64، فإن √50 بين 7 و 8. ولتضييق المجال نحسب 7.07² = 49.9849 و 7.08² = 50.1264، فنجد 7.07 < √50 < 7.08.

الرمز≈ مناسب لقيمة عشرية مقربة، بينما المساواة تستخدم للتعبير الدقيق: √50 = 5√2 ≈ 7.0711. إذا طلبت منزلتين عشريتين، نحتاج معرفة المنزلة التالية أو مجالًا كافيًا للتقريب؛ حصر واسع وحده لا يحدد اتجاه التقريب دائمًا.

√36 يختلف عن حل x²=36

الرمز √36 يعني الجذر الرئيسي 6. أما المعادلة x² = 36 فلها حلان حقيقيان، 6 و −6، لأن كليهما يعطي 36 عند التربيع. لذلك نكتب x = ±6 عند حل المعادلة، ولا نكتب √36 = ±6. ^[1]

وبالمثل √(x²) = |x| للأعداد الحقيقية. عندما x=−4 يكون √16=4، لا −4. القيمة المطلقة تحفظ كون الجذر الرئيسي غير سالب.

ثلاث مراجعات تمنع الأخطاء

• الجذر لا يتوزع على الجمع: √(16+9)=5، بينما √16+√9=7.
• لا يوجد جذر تربيعي حقيقي لعدد سالب مثل −9؛ لأن مربع أي عدد حقيقي غير سالب.
• الجذر يمثل طول ضلع عندما يمثل العدد مساحة مربع؛ مساحة 50 سم² تقابل ضلعًا √50 سم، لا √50 سم².

في كل مسألة حدد المجال المطلوب، ثم هل يريد السؤال جوابًا دقيقًا أم تقريبيًا، وأخيرًا مربع الناتج للتحقق. بهذه المراجعة يصبح استخدام الحاسبة خطوة مساعدة لا بديلًا عن فهم الجذر.