خصائص المربع: لماذا لا يكفي تساوي الأضلاع وحده؟

ماذا تعني الأضلاع المتساوية والزوايا القائمة؟

إذا كان طول ضلع المربع s فإن الأضلاع الأربعة كلها s، وكل ضلعين متجاورين متعامدان. والضلعان المتقابلان متوازيان. يظل ذلك صحيحًا عند تدوير الرسم؛ فالمربع المائل ليس شكلًا مختلفًا لمجرد أن رؤوسه صارت أعلى وأسفل. ^[1]

لهذا لا تكفي خاصية «قطران متعامدان» وحدها لإثبات أن أي شكل رباعي مربع؛ فالجدول يعرض شكلًا آخر تتوافر فيه الخاصية.

الأقطار والمركز

يتقاطع القطران في مركز المربع، ويتساويان ويتعامدان، ويقسم كل قطر الآخر إلى نصفين. وينصف كل منهما زاوية رأس مقدارها 90° إلى زاويتين مقدار كل منهما 45°. ^[1]

ومن الرسم يمكن رؤية أربع مثلثات قائمة متطابقة حول المركز. إذا كان طول القطر 10 سم فإن المسافة من المركز إلى كل رأس 5 سم؛ لكن طول ضلع المربع ليس 5 سم، لأن الضلع وتر أحد هذه المثلثات الصغيرة.

قوانين المحيط والمساحة والقطر

المحيط P = 4s، والمساحة A = s². ومن فيثاغورس على المثلث الذي يصنعه ضلعان وقطر نحصل على d² = s² + s²، أي d = s√2. ^{[1] [2]}

مثال أصلي: مربع طول ضلعه 5 سم. محيطه 20 سم، ومساحته 25 سم²، وطول قطره 5√2 ≈ 7.07 cm. الرقم 7.07 تقريب، والقيمة الدقيقة 5√2.

وإذا أعطاك السؤال المساحة 25 سم²، تسترجع طول الضلع بأخذ الجذر الموجب فتجد 5 سم. وإذا أعطاك المحيط 20 سم تقسمه على 4 لتجد النتيجة نفسها.

التماثل من أربع جهات

للمربع أربعة محاور تماثل: القطران والمستقيمان اللذان يمران بمنتصفي الأضلاع المتقابلة. يطابق الانعكاس حول أي منها الشكل مع نفسه. ويمكن التحقق من ذلك بإعادة ترتيب رؤوس الرسم حول المحور دون تغيير الأطوال.

وكذلك يعود المربع إلى الوضع نفسه بعد دوران 90° أو 180° أو 270° حول المركز. هذه الخاصية لا تعني أن كل نقطة تبقى في مكانها؛ الرؤوس تتبادل مواقعها، لكن حدود الشكل تتطابق.

اختبار يوضح تعريف الشكل

سأل معلم: «شكل رباعي جميع أضلاعه 6 سم، فهل هو مربع؟» المعطى وحده يثبت تساوي الأضلاع، ولا يثبت الزوايا القائمة. إذا أضيف أنه مستطيل، يصبح مربعًا لأن شرط الزوايا متحقق أصلًا.

ابدأ إذن بالشروط الدقيقة، ثم استخدم الخاصية اللازمة للحساب. ولا تجعل اتجاه الرسم أو لون ضلع أو علامة في وسط الشكل بديلًا عن طول وزاوية معلومين.