مقارنة الأعداد الصحيحة وترتيبها: قواعد وأمثلة محلولة

الخلاصة السريعة

لمقارنة عددين صحيحين، ننظر إلى قيمتيهما: الأكبر يقع إلى اليمين على خط الأعداد. والترتيب التصاعدي يبدأ بالأصغر، أما التنازلي فيبدأ بالأكبر. ^[1]

• كل عدد موجب أكبر من الصفر، والصفر أكبر من كل عدد سالب. ^[1]
• بين عددين سالبين، الأقرب إلى الصفر هو الأكبر. ^[1]
• مع الأعداد الموجبة المكتوبة دون أصفار بادئة، نقارن عدد المنازل ثم أول منزلة مختلفة. ^[2]
• في المثال المستقل: −11 < −4 < 0 < 6 < 14.
• القيمة المطلقة مسافة عن الصفر، فلا تعوض قيمة العدد عند ترتيبه. ^[1]

كيف نقرأ إشارة المقارنة؟

الرمز < يعني أصغر من، و > يعني أكبر من، و = يعني تساوي القيمتين. تخيل خط الأعداد ممتدًا من اليسار إلى اليمين: الانتقال إلى اليمين يزيد القيمة، ولو بقي العدد سالبًا. ^[1]

في مثالنا، −11 < −4 لأن سالب 11 يقع أبعد إلى اليسار. لكن |−11| = 11 أكبر من |−4| = 4. السؤال الأول يقارن قيمتين، والثاني يقارن مسافتين. كذلك 0 > −4 و 6 > 0 و 14 > 6.

إذا كتب العدد بصورتين، نقارن القيمة لا شكل الكتابة: 12/3 = 4، وبالتالي 12/3 = 4 عند المقارنة أيضًا. وهذا المثال لا يجعل كل كسر عددًا صحيحًا؛ فـ 5/2 = 2.5 يقع خارج الأعداد الصحيحة.

مقارنة الأعداد الصحيحة متعددة المنازل

تعتمد قيمة الرقم على موضعه في كتابة العدد العشرية؛ منزلة إلى اليسار تساوي عشرة أمثال المنزلة المجاورة إلى اليمين. ومن هذا التمثيل نقارن الأعداد الموجبة من المنازل الأعلى، مع تجاهل الأصفار البادئة. ^[2]

نختار العددين 4827 و 4798. كلاهما من أربع منازل، وآلافهما متساوية. نصل إلى المئات: 8 > 7، إذن 4827 > 4798 دون حاجة إلى مقارنة العشرات والآحاد. ونختار 962 و 1034: الثاني أكبر، لأنه تجاوز الألف، والأول أقل منها.

إذا أصبح العددان سالبين انعكست المقارنة: −4827 < −4798، و −1034 < −962. لذلك لا نحكم بأن كتابة عدد سالب بمنازل أكثر تجعله أكبر. أما 0048 و 48 فيمثلان القيمة نفسها؛ الأصفار على اليسار لم تضف مقدارًا.

ترتيب قائمة والتحقق من الحل

خذ القائمة الأصلية: 6, −11, 14, 0, −4. نرتبها تصاعديًا هكذا: −11, −4, 0, 6, 14. وبالقراءة من الطرف الآخر نحصل على الترتيب التنازلي: 14, 6, 0, −4, −11. الأعداد نفسها باقية، لكن ترتيب قراءتها تغير.

التحقق هنا لا يحتاج عملية حسابية طويلة. نقارن كل عدد بالذي يليه في القائمة التصاعدية: سالب 11 أصغر من سالب 4، ثم يأتي الصفر، ثم 6، ثم 14. الرسم الرئيسي يبين مواقع هذه القيم على محور واحد؛ المسافات فيه تناسب الفروق الفعلية.

جرب ترتيب −9, 17, −2, 17, 0 تصاعديًا قبل النظر إلى الجواب: −9, −2, 0, 17, 17. لم نحذف العدد 17 المكرر؛ ترتيب القائمة يحافظ على كل عناصرها. وتصبح تنازليًا 17, 17, 0, −2, −9.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: ما هو العدد الصحيح؟ أمثلة وخط أعداد يوضح الموجب والسالب.