منحنى هيبياس: لماذا لا يحدد تقاطع الخطين نقطة البداية؟

الخلاصة السريعة

لأن الشعاع عند الزاوية صفر يقع على المستقيم الأفقي نفسه؛ تقاطعهما هو الشعاع كله، لا نقطة وحيدة. أما نهاية نقاط التقاطع عندما تقترب الزاوية من الصفر فتساوي B=(4/π,0). نضيف B إلى المنحنى بالنهاية، دون الادعاء أن وضع الصفر وحده اختارها.

• نستخدم a=2 والصيغتين x=4θcotθ/π وy=4θ/π. [1] الزاوية بالراديان، ونقتصر على0＜θ≤π/2، أي0＜y≤2؛ لا نحول θ إلى زمن أو قياس حركة فعلية.
• لكل زاوية موجبة في هذا المجال، يلتقي الشعاع الخارج من O بزاوية θ مع المستقيم الأفقي y=4θ/π في نقطة وحيدة. عند θ=π/4 تكون P=(1,1)، وعند θ=π/2 تكون T=(0,2).
• عند θ=0 يصبح المستقيم y=0 ويقع عليه الشعاع x≥0. كل نقطة من هذا الشعاع نقطة تقاطع؛ O=(0,0) وJ=(2,0) مثالان، لكن أيًا منهما ليس نهاية نقاط المنحنى. لا نحسب0cot0 بالتعويض.
• لـ0＜θ＜π/2، تعطي مقارنة مساحات دائرة الوحدة sinθ＜θ＜tanθ، ومنها(4/π)cosθ＜x＜4/π. إذن x→4/π وy→0؛ النهاية B، لا الأصل.
• عند كتابة θ=πy/4، نجد x=y cot(πy/4). تنقص x عندما تزيد y في هذا الجزء؛ مشتقتها بالنسبة إلى y هي(sinθcosθ−θ)/sin²θ＜0. يبدأ الجزء الممدد من B وينتهي عند T، داخل0≤x≤4/π و0≤y≤2.
• الفارق الأفقي عن B يحقق0＜4/π−x≤πy²/8 عندما0＜y＜2. لذلك(4/π−x)/y→0، فيكون مماس الطرف المضاف رأسيًا x=4/π. هذا وصف لطرف منحنى ممدد، ولا يعيد للتقاطع عند الصفر وحدانيته.

ثبت الصيغ والمجال والوحدة

تعطي الصيغة المرجعية x=2aθcotθ/π وy=2aθ/π. [1] نضع a=2، فتصير x=4θcotθ/π وy=4θ/π. سنستعمل الربع الأول فقط، مع0＜θ≤π/2، ثم نبحث عن امتداد مستمر عند الصفر.

الرمز cotθ يعني cosθ/sinθ. نختار θ بالراديان، وx وy بوحدة طول واحدة. ليست θ عدد درجات ندخله في الصيغة نفسها، وليست زمنًا؛ العلاقة هنا هندسية محسوبة.

في هذا المجال sinθ موجب، فلا ينعدم مقام cotθ. عند النهاية العليا θ=π/2 يكون cosθ=0، فتصل النقطة إلى T=(0,2). أما θ=0 فخارج الصيغة الأصلية، ويتطلب معالجة منفصلة.

قاطع الشعاع بارتفاع يحدده المعامل

نثبت O=(0,0). لكل θ نأخذ الشعاع ذو الاتجاه(cosθ,sinθ)، ثم المستقيم الأفقي الذي ارتفاعه4θ/π. بما أن مركبة الشعاع الرأسية موجبة، فإنه يقطع هذا الارتفاع في نقطة واحدة.

إذا كتبنا نقطة الشعاع بالصورة λ(cosθ,sinθ)، فإن شرط الارتفاع يعطي λsinθ=4θ/π. ينتج λ=4θ/(πsinθ)＞0، ثم x=4θcosθ/(πsinθ). هكذا تصل قاعدة التقاطع إلى الصيغة المختارة، ولا تختار تقاطعًا خلف الأصل.

عند θ=π/4، يكون y=1 وcotθ=1، فنحصل على P=(1,1). الخط الأفقي y=1 والشعاع y=x يلتقيان هناك. وعند θ=π/2 يصبح الشعاع رأسيًا، ويقطع y=2 عند T.

في وضع الصفر لا توجد نقطة مختارة

عند θ=0 يصير الارتفاع4θ/π صفرًا، فيكون المستقيم الأفقي y=0. والشعاع الخارج من O بزاوية صفر هو الجزء x≥0 من هذا المستقيم. التقاطع هو الشعاع كله؛ الخط الحامل له والمستقيم الأفقي متطابقان.

من ثم O=(0,0) وJ=(2,0) نقطتا تقاطع صالحتان في هذا الوضع، وكذلك كل نقطة بينهما. لكن التقاطع لا يميز واحدة منها. لا يجوز أن نختار O لمجرد أنه نقطة خروج الشعاع ثم نسميه بداية منحنى التقاطعات.

كتابة0cot0 لا تحل المسألة؛ cot0 غير معرف. وإذا اختصرنا التعبير إلى حاصل ضرب أو كسر، يجب أن نبقي شرط الزاوية الموجبة خلال الحساب. سنحدد النهاية من نقاط ذات θ＞0، ثم نضيف نقطة الطرف بتعريف واضح.

حدد الطرف بمقارنة مساحات

في دائرة الوحدة، ولزاوية θ بين0 وπ/2، مساحة المثلث الداخلي الذي يصل المركز بنهايتي القوس هي sinθ/2، ومساحة القطاع θ/2، ومساحة المثلث الخارجي المماس tanθ/2. تقع هذه المساحات بهذا الترتيب، فينتج sinθ＜θ＜tanθ.

لأن الجيب وجيب التمام موجبان، تعطينا المتباينتان cosθ＜θcotθ＜1. وبالضرب في4/π نحصل على(4/π)cosθ＜x＜4/π. الطرفان يتجهان إلى4/π عندما θ→0⁺، فيتجه x إلى القيمة نفسها، بينما y=4θ/π يتجه إلى0.

إذن النهاية B=(4/π,0)، وإحداثيها الأفقي نحو1.273240. هذه ليست O ولا J. نعرّف الجزء الممدد بإضافة B إلى نقاط الزوايا الموجبة؛ الإضافة مستمرة، لكنها ليست نتيجة اختيار وحيد من تقاطع وضع الصفر.

الجدول يعرض نقاطًا دقيقة ثم الطرف المضاف. كلمة «نهاية» في صف الصفر ضرورية: لا نعرض صفًا يدعي أن التعبير الأصلي معرف عند θ=0، ولا نستنتج النهاية من العدد المقرب وحده.

راجع الاتجاه وحدود الجزء المعروض

من y=4θ/π نستعيد θ=πy/4، فنكتب x=y cot(πy/4) عندما0＜y≤2. لكل ارتفاع في هذا المجال نقطة واحدة؛ لا توجد هنا نقطة ثانية بسبب دوران كامل للزاوية.

باشتقاق x بالنسبة إلى y، مع θ=πy/4، نجد dx/dy=cotθ−θ/sin²θ=(sinθcosθ−θ)/sin²θ. المقام موجب. كما أن sinθ＜θ و0＜cosθ≤1، فيكون البسط سالبًا لكل θ داخلي؛ تنقص x مع ازدياد y.

عند θ=π/2 تبقى المشتقة معرفة وتساوي−π/2. يبدأ الجزء الممدد من B وينتهي عند T، ولا يغادر المستطيل0≤x≤4/π و0≤y≤2. هذا وصف لهذا الجزء المختار، وليس تصنيفًا لكل فروع الصيغة خارج المجال.

افصل المماس عن وحدانية التقاطع

من الحصر السابق، يكون0＜4/π−x＜(4/π)(1−cosθ). وباستعمال1−cosθ=2sin²(θ/2) وsin(θ/2)≤θ/2 نحصل على4/π−x≤2θ²/π. نعوض θ=πy/4 فينتج4/π−x≤πy²/8.

اقسم على y الموجب:0＜(4/π−x)/y≤πy/8. حين y→0⁺، يتجه الطرف الأعلى إلى0. إذن فرق الإحداثي الأفقي أصغر من الارتفاع بنسبة تتجه إلى الصفر؛ خطوط الوصل بـB تتجه إلى الخط الرأسي x=4/π.

هذه مماسية من جهة واحدة عند طرف الجزء الممدد. الرسم يميز B بوصفها طرفًا أضفناه بالنهاية، ويبين في اللوحة الداخلية أن O وJ يحققان تقاطع وضع الصفر دون أن يحققا هذه النهاية.

راجع السؤالين منفصلين: التقاطع عند θ=0 غير وحيد، لكن نهاية تقاطعات θ＞0 وحيدة. والمماس يصف اقتراب المنحنى من B، ولا يغير مجموعة نقاط التقاطع في الوضع المتطابق. لم نفترض آلة فعلية أو إنشاءً بالفرجار وحده.