نقطة جيرغون: وصل الرؤوس بنقاط تماس الدائرة الداخلية

الخلاصة السريعة

نقطة جيرغون هي نقطة اجتماع القطع الواصلة بين رؤوس مثلث غير منعدم ونقاط تماس دائرته الداخلية مع الأضلاع المقابلة لها. إذا كانت نقاط التماس D على BC، و E على CA، و F على AB، فإن AD و BE و CF تلتقي في نقطة واحدة. [1]

• ابدأ بنقاط تماس دائرة المثلث الداخلية مع الأضلاع الثلاثة، ثم صل كل رأس بنقطة التماس على ضلعه المقابل. ليست هذه القطع أنصاف أقطار الدائرة. [1]
• في المثال، نصف المحيط s=21، وأطوال قطع المماس من A و B و C هي 6 و 8 و 7. لذلك BD/DC=8/7 و CE/EA=7/6 و AF/FB=6/8؛ حاصل ضرب النسب 1.
• نقاط التماس هي D=(46/5,32/5)، E=(30/13,72/13)، F=(6,0). أقدام الأعمدة من I=(6,4) تصل إلى هذه النقاط، ومربع كل مسافة منها إلى I هو 16.
• معادلات القطع تقع على الخطوط 16x−23y=0 و 9x+19y=126 و 12x+y=72. النقطة G=(414/73,288/73) تحقق المعادلات الثلاث، ونبرهن الاجتماع العام بأوزان موجبة.
• إذا استبدلنا D بمنتصف BC وهو J=(19/2,6)، لا يمر AJ بالنقطة G. عند التعويض في 12x−19y نحصل على −504/73، لا صفرًا؛ الإبقاء على النقطتين الأخريين لا يصلح الاستبدال.
• جيرغون G ليست مركز الدائرة I في هذا النموذج، وليست مركز الثقل T=(19/3,4). الإزاحة والدوران والتكبير الموحد تحفظ الاجتماع؛ الكسور الدقيقة تمنع التقريب من إخفاء الفروق.

وصل الرأس بنقطة التماس المقابلة

ارسم مثلثًا غير منعدم ودائرته الداخلية. سمِّ تماسها مع BC بالنقطة D، ومع CA بالنقطة E، ومع AB بالنقطة F. القطع AD و BE و CF هي التي تحدد نقطة جيرغون. [1] تثبيت أسماء الضلع والنقطة المقابلة يسبق الحساب.

في القطعة AD، البداية هي الرأس A، والنهاية على الضلع BC. أما ID فهو نصف قطر يبدأ من مركز الدائرة. اختلاف نقطة البداية يغيّر الخط؛ لا تستبدل شعاعًا من المركز بقطعة من الرأس وتبقي اسم البناء نفسه.

نقطة التماس على الضلع لا تعني منتصفه. يحدد موقعها شكل المثلث وأطواله، لا الرغبة في تقسيم الضلع إلى جزأين متساويين. سنجد في مثالنا BD=8 و DC=7، وهما غير متساويين رغم أن D نقطة تماس صحيحة.

استخرج أطوال قطع المماس من الأضلاع

في A=(0,0)، B=(14,0)، C=(5,12)، نجد AB=14، و AC²=25+144=169، ولذلك AC=13. ومن B إلى C الفرق (−9,12)، فيكون BC²=81+144=225، أي BC=15. نصف المحيط s=(13+14+15)/2=21.

سمِّ طولَي المماس من A بالرمز u، ومن B بالرمز v، ومن C بالرمز w. التساوي من الرأس نفسه يأتي من المثلثين القائمين إلى نقطتي التماس: مربع كل قطعة هو مربع المسافة إلى المركز ناقص مربع نصف القطر.

إذن u+v=14، و v+w=15، و w+u=13. بجمع المعادلتين الأولى والثالثة وطرح الثانية نحصل على 2u=12، أي u=6. ثم v=8 و w=7. هكذا AE=AF=6، و BF=BD=8، و CD=CE=7.

النسب الدورية هي BD/DC=8/7، و CE/EA=7/6، و AF/FB=6/8. يتبسط حاصل (8/7)×(7/6)×(6/8)=1. لاحظ اتجاه كل نسبة؛ قلب نسبة واحدة فقط يغير الناتج، بينما قلب النسب الثلاث جميعًا يعطي مقلوب 1، أي 1 نفسه.

احسب أقدام الأعمدة وافحص الدائرة

نقطة F على AB تبعد 6 عن A، لذلك F=(6,0). وعلى AC، نأخذ الجزء 6/13 من المتجه (5,12)، فنحصل على E=(30/13,72/13). وعلى BC، نأخذ الجزء 8/15 من المتجه (−9,12) بداية من B، فنجد D=(46/5,32/5).

المركز I=(6,4) ونصف القطر 4. خط AB هو y=0، وبُعد I عنه 4. وخط AC هو 12x−5y=0؛ فرق التعويض عند I يساوي 52، وطول المتجه العمودي (12,−5) يساوي 13، فيكون البعد 52/13=4.

أما خط BC فهو 4x+3y=56. عند I يكون الطرف الأيسر 36، والفرق 20؛ طول المتجه العمودي (4,3) هو 5، والبعد 20/5=4. تقع I داخل المثلث، وقد تساوت المسافات العمودية إلى أضلاعه، فالدائرة بهذه المعطيات داخلية.

للفحص عند D، المتجه ID=(16/5,12/5) طوله 4، واتجاه BC هو (−9,12). حاصل الضرب القياسي (16/5)×(−9)+(12/5)×12=0. وبالمثل IE=(−48/13,20/13) عمودي على AC، ومربع طوله 16؛ و IF عمودي على AB.

نسبتا 6/13 و 8/15 بين صفر وواحد، ولذلك تقع E و D على القطعتين لا على امتداديهما. ونقطة F=(6,0) داخل AB أيضًا. هذا الفحص يجمع البعد الصحيح والتعامد ومكان القدم، بدل الاكتفاء بمظهر دائرة داخل الرسم.

من معادلات المثال إلى برهان عام

خط AD يحقق 16x−23y=0، وخط BE يحقق 9x+19y=126، وخط CF يحقق 12x+y=72. بالتعويض عن y=72−12x في المعادلة الثانية نحصل على −219x=−1242، فينتج x=414/73، ثم y=288/73.

نراجع AD مباشرة: 16×414−23×288=0، ومع القسمة على 73 يظل الطرف صفرًا. وفي BE نجد 9×414+19×288=9198=126×73، وفي CF نجد 12×414+288=5256=72×73. إذن G=(414/73,288/73) على الخطوط الثلاثة.

ولإثبات الاجتماع في أي مثلث، احتفظ بأطوال المماس الموجبة u و v و w من الرؤوس A و B و C. استعمل A و B و C هنا بوصفها متجهات موضع، وعرّف S=vw+uw+uv ثم L=vwA+uwB+uvC و G=L/S.

لأن BD/DC=v/w، فإن D=(wB+vC)/(v+w). نجمع الحدين الأخيرين في L، فنكتب L=vwA+u(v+w)D. بعد القسمة على S، تكون G متوسطًا موزونًا موجبًا للنقطتين A و D؛ ومعاملَا النقطتين مجموعهما 1، فتقع G داخل القطعة AD.

بالطريقة نفسها L=uwB+v(u+w)E، ثم L=uvC+w(u+v)F. إذن النقطة G نفسها تقع داخل BE و CF أيضًا. هذا برهان عام للاجتماع؛ أما الحساب العددي السابق فيفحص تنفيذ البناء على المثلث المختار.

في أرقامنا، الأوزان vw و uw و uv هي 56 و 42 و 48. بقسمتها على 2 نحصل على 28 و 21 و 24، ومجموعها 73. لذلك G=(28A+21B+24C)/73، فتظهر الإحداثيات 414/73 و 288/73 من الأوزان كذلك.

اختبر استبدال نقطة التماس بمنتصف

اترك E و F كما هما، لكن استبدل D بمنتصف BC، وسمِّه J. من متوسط إحداثيي B و C نجد J=(19/2,6). القطعة AJ متوسط من الرأس A؛ لا تصبح قطعة جيرغون لأن نهايتها ليست نقطة التماس D.

خط AJ هو 12x−19y=0. عند G نحصل على 12×414−19×288=−504، وبعد القسمة على 73 تكون القيمة −504/73، وهي غير صفر. إذن AJ لا يمر باجتماع BE و CF، فلم تعد القطع الثلاث تجتمع في نقطة واحدة.

والتقاطع الجديد بين AJ و BE هو R=(6,72/19). تحقق R المعادلتين 12x−19y=0 و 9x+19y=126، لكنها لا تحقق 12x+y=72؛ لأن 12×6+72/19 أكبر من 72. وجود تقاطع بين قطعتين وحده لا يثبت مرور القطعة الثالثة به.

تغيرت أيضًا النسبة الأولى إلى BJ/JC=1، وبقيت النسبتان 7/6 و 6/8. حاصل الضرب يصبح 7/8 بدل 1. هذه مراجعة إضافية تتفق مع فحص المعادلات، ولا تعوّض تحديد نقطة التماس الأصلية.

في الرسم المقارن، تبقى BE و CF ومثلثنا ودائرته ثابتة، وتستبدل AD بقطعة AJ رمادية. على اللوحة الثانية نعلّم J فقط على BC، فلا نخلط علامة المنتصف بعلامة تماس D. الجدول يفصل معادلات الخطوط والنتيجة عند G.

لا تخلط نقطة الاجتماع بمركز الدائرة

في المثال I=(6,4)، بينما G=(414/73,288/73). الإحداثي الأفقي لـ G يقل عن 6 بمقدار 24/73، والرأسي يقل عن 4 بمقدار 4/73. إذن G≠I؛ تقارب النقطتين في الرسم لا يجعل إحداثياتهما متساوية.

مركز الثقل T يساوي متوسط متجهات الرؤوس: T=(A+B+C)/3=(19/3,4). إنه اجتماع المتوسطات الثلاثة، بينما وصلات جيرغون تنتهي عند نقاط التماس. تختلف T عن G في هذا المثلث أيضًا؛ لا نخلط النقاط لمجرد أن كل بناء يصف اجتماع ثلاث قطع.

نقل الشكل أو تدويره أو تكبيره بنسبة واحدة يحفظ الدائرة والتماس واجتماع الخطوط. عند التكبير بعامل 2، يصبح مركز الدائرة (12,8)، ونصف القطر 8، ونقطة جيرغون (828/73,576/73). تتضاعف المسافات وتبقى نسب التقسيم نفسها.

احتفظ بالكسور في مراجعة الخطوط. تقريب G إلى منزلتين عشريتين قد يعطي بواقي صغيرة عند التعويض؛ هذه نتيجة التقريب، لا نفي الاجتماع المثبت. أما منتصف J مختلف عن D بإحداثيات دقيقة، فلا يصلحه تغيير عدد المنازل العشرية.

قبل اعتماد البناء، راجع الدائرة الداخلية، ونقاط التماس الواقعة على الأضلاع، وتوصيل كل رأس بنقطته المقابلة. احسب تقاطع خطين ثم افحص الثالث. وجود برهان عام مع مراجعة مستقلة للمثال يجعل الفرق واضحًا بين الخاصية الهندسية ودقة الرسم.