متوسط الخسارة السنوية: هل يحدده حد تجاوز واحد؟

ماذا يعني متوسط سنوي في هذا السؤال؟

يصف تقرير CBO الضرر السنوي المتوقع للمنزل من الفيضان بأنه ضرر نقدي يقع سنويًا في المتوسط عبر سنوات كثيرة من التعرض لوصف خطر معين. نأخذ هذا المعنى فقط، دون نقل تقديرات التقرير. [1]

سننشئ توزيعات احتمالية صغيرة، وكل نتيجة فيها تخص خسارة سنة كاملة. المبالغ وحدات نقدية مؤلفة وغير سالبة، على الأساس نفسه وفي الفترة نفسها، دون مبالغ تأمين أو استردادات أو خصم زمني. لا نعد الحوادث داخل السنة، ولا نختار أكبر حادث منها؛ الأرقام التي سنعطيها هي إجمالي خسارة السنة مباشرة. هذا التحديد يمنع تغيير وحدة الاختيار بين سنة وحادث، ثم استعمال الوزن نفسه كأنه ما زال يخص السؤال الأصلي.

والاحتمالات في أمثلتنا معطاة، لا مقدرة من سوق أو منطقة أو وثيقة. عندما نضرب الخسارة في وزنها ثم نجمع، نحصل على توقع رياضي تحت هذه المدخلات. لا تثبت العملية أن المدخلات صالحة لمستقبل فعلي، ولا تعطي تاريخًا لخسارة قادمة. افصلي دائمًا بين تعريف المقياس، وحساب يطابق معطياته، والتحقق من أن تلك المعطيات تمثل الحالة التي تريدين اتخاذ قرار بشأنها؛ اكتمال خطوة منها لا يقوم مقام بقية الخطوات.

احسبي كل نتيجة بوزنها ولا تنسي الصفر

توزيع ألف له نتيجتان: صفر باحتمال تسعين بالمئة، ومئة باحتمال عشر بالمئة. مجموع الاحتمالين مئة بالمئة، وهما حالتان بديلتان لسنة واحدة. المتوسط هو صفر مضروب في تسعة أعشار، زائد مئة مضروبة في عُشر، فيساوي عشر وحدات نقدية في السنة. لا تعني العشر احتمالًا قدره عشرة بالمئة؛ إنها مبلغ متوسط، بينما العشر بالمئة وزن النتيجة مئة. اكتبي الوحدة المالية بجانب المتوسط لتمييزه عن الاحتمال الذي دخل في الحساب.

وفي باء ثلاث نتائج: صفر بوزن ثمانين بالمئة، وخمسون بوزن عشر بالمئة، ومئة بوزن عشر بالمئة. مجموع الأوزان مئة بالمئة أيضًا. مساهمة الصفر في المتوسط صفر، ومساهمة الخمسين خمس، ومساهمة المئة عشر، فيكون المجموع خمس عشرة وحدة نقدية في السنة. لا نقسم مجموع قيم الصفوف على ثلاثة، لأن النتائج لم تعط باحتمالات متساوية. عدد الصفوف ليس بديلًا عن الوزن الاحتمالي الذي يخص كل نتيجة.

وتستطيعين فحص هذا الأخير بخطأ واضح: متوسط الصفر والخمسين والمئة دون أوزان يساوي خمسين، لا خمس عشرة. لقد غيرت هذه العملية التوزيع إلى أوزان متساوية ضمنًا. ولا نصلحها بحذف صف الصفر، لأنه نتيجة سنوية معطاة وليست خانة زائدة. احتفظي بصفوف الخسارة الصفرية المعروفة ضمن التوزيع، مع تمييزها عن سنة بياناتها مفقودة؛ المعطى الأول يقول إن الخسارة صفر، والثاني لا يقول كم كانت.

احتمال تجاوز ثمانين متساوٍ والمتوسط مختلف

نسأل الآن سؤالًا آخر عن كل توزيع: ما احتمال أن تتجاوز الخسارة السنوية ثمانين وحدة نقدية؟ في ألف لا يحقق الشرط إلا مبلغ مئة، ووزنه عشر بالمئة. وفي باء لا يحققه إلا مبلغ مئة أيضًا، ووزنه عشر بالمئة. إذن الإجابتان متساويتان عند هذا الحد، لكن المتوسط في ألف عشر وفي باء خمس عشرة. معرفة أن احتمال تجاوز الثمانين عشر بالمئة لا تخبرك كيف وزعنا بقية الاحتمال على الصفر أو الخمسين.

الفرق بين التوزيعين في المثال أننا نقلنا عُشر الاحتمال من خسارة صفر في ألف إلى خسارة خمسين في باء، مع إبقاء وزن المئة ثابتًا. ارتفع المتوسط بخمس وحدات، لأن خمسين مضروبة في عُشر تساوي خمسًا، دون تغيير احتمال تجاوز الثمانين. هذا انتقال افتراضي بين توزيعين، لا تغير رصدناه بمرور الزمن. لا ننسبه إلى تضخم أو زيادة تعرض أو تغيير تغطية؛ لم نعط سببًا ماديًا من هذا النوع.

وعند حد آخر قد تختلف الاحتمالات. إذا سألنا عن تجاوز الصفر، يكون الاحتمال في ألف عشر بالمئة، وفي باء عشرين بالمئة، لأن الخمسين والمئة كلتيهما موجبتان. لذلك احتفظي بالحد وعلامة المقارنة بجانب الاحتمال. العبارة المختصرة «خطره عشرة بالمئة» تخفي ما الذي سيتجاوز أي مبلغ وفي أي فترة. ولم نعط في مثالنا قراءة لخسارة تساوي ثمانين، لكننا ثبتنا معنى «تتجاوز» كي لا يتحول السؤال لاحقًا إلى مساواة أو تجاوز دون إعلان.

قد يتساوى المتوسط وتختلف الخسائر الكبيرة

ننشئ جيم مستقلًا: خسارة صفر باحتمال نصف، وخسارة عشرين باحتمال نصف. المتوسط صفر زائد عشرين مضروبة في نصف، أي عشر وحدات سنويًا. هذا يطابق متوسط ألف، لكن خسارة مئة غير موجودة بين نتائج جيم المعطاة، ولا أي نتيجة تتجاوز ثمانين. لذلك يكون احتمال تجاوز الثمانين في جيم صفرًا داخل النموذج، مقابل عشر بالمئة في ألف. تساوي المتوسطين لا يجعل المخططين الاحتماليين نسخة واحدة.

كما أن احتمال خسارة موجبة في جيم نصف، وهو أعلى من عُشر ألف، مع أن متوسطهما واحد. في جيم أعطينا خسارة أصغر وأكثر تكرارًا بالوزن الاحتمالي، وفي ألف خسارة أكبر وأقل وزنًا. لا يجعل هذا أحدهما أفضل لكل قرار؛ لم نحدد ما الذي يستطيع طرف تحمله أو شروط سيولته أو غرض المقارنة. يمكننا وصف الاحتمالات والمبالغ، دون تحويل اختيار معيار واحد إلى حكم شامل على ملاءمة خطر لشخص أو منشأة.

ولو جاءك تقريران لا يعرضان إلا المتوسط عشرًا، فلن تستنتجي منهما هل يقصدان توزيع ألف أم جيم أو توزيعًا آخر له المتوسط نفسه. وحتى إضافة احتمال عند حد واحد قد تبقي تفاصيل أخرى مجهولة، كما رأينا بين ألف وباء. اطلبي الوصف الذي يجيب عن السؤال الذي يهمك، ولا تخترعي ذيلًا أو خسارة قصوى من متوسط وحده. حدود ما يمكن استنتاجه جزء من القراءة الصحيحة للرقم، لا عيبًا تعالجه زيادة عدد المنازل العشرية.

ميّزي شرط وقوع خسارة من السجل التاريخي

في باء، إذا اقتصر السؤال على السنوات ذات خسارة موجبة، فستبقى نتيجتا خمسين ومئة. الوزن الأصلي لكل منهما عُشر، ومجموع الوزن الموجب خُمُس. بعد الاشتراط تصبح حصة كل منهما نصفًا، فيكون متوسط الخسارة المشروط خمسًا وسبعين. أما متوسط كل السنوات فخمس عشرة، وهو خمس وسبعون مضروبة في خُمُس. الرقمان صحيحان لسؤالين مختلفين؛ لا تعرضي الأول بعنوان متوسط سنوي شامل بعد حذف السنوات الصفرية.

وفي ألف متوسط السنوات الموجبة وحدها مئة، وفي جيم عشرون. لكن متوسط كل السنوات في كليهما عشر، لأن مئة مضروبة في عُشر تساوي عشرين مضروبة في نصف. هذا يوضح أن مبلغ الخسارة عند وقوعها واحتمال سنة موجبة يدخلان معًا في المتوسط هنا. ليست النتيجة ضربًا عشوائيًا لمبلغ بأي نسبة؛ كل نسبة لها نطاق واضح، وكل مبلغ مشروط بمجموعة محددة من نتائج السنة التي عرفناها.

ونضع إلى جانب النماذج قائمة تاريخية مؤلفة مختلفة: عشر سنوات، تسع منها صفر وواحدة مئة. مجموعها مئة ومتوسطها المحقق عشر. يمكن وضع المئة أول القائمة أو آخرها دون تغيير المتوسط، بينما يختلف ترتيب التدفق السنوي. هذه قائمة من التأليف، وليست عينة تقدر احتمالات ألف تلقائيًا. تطابق المتوسط العددي لا يثبت أن تاريخ المستقبل سيكون تسعة أصفار ثم مئة، ولا أن الخسارة تقع وفق جدول دوري ثابت.

احفظي الأساس المالي قبل تحويل المتوسط إلى قرار

كل أرقامنا خسارة اقتصادية سنوية معطاة قبل إدخال قواعد تعويض. لم نضع وثيقة أو حدودًا أو تحملًا أو استثناءات، لذلك لا نسمي المتوسط مبلغًا ستدفعه شركة التأمين. كذلك لم نحسب مصروفات أو تكلفة رأس مال أو هامشًا أو سعر تغطية، فلا نستخرج قسطًا من العشر أو الخمس عشرة. وإذا احتجت متوسط مبلغ على أساس مالي آخر، فيجب تعريف كل نتيجة لذلك الأساس وأوزانها أولًا، بدل تغيير عنوان المتوسط القديم وحده.

وعند مراجعة ملف، ثبتي الفترة والعملة وقيمة النقود التي تمثلها المبالغ، وتعريف الخسارة والنطاق المغطى. ثم افحصي أن الأوزان تخص نتائج سنة بديلة وأن مجموعها واحد في النموذج الكامل الذي تستعملينه. لا تجمعي احتمالات أحداث قد تقع معًا باعتبارها تلقائيًا توزيعًا لسنوات متنافية. لم نطرح مسألة تركيب أحداث في هذه الصفحة؛ بدأنا بإجمالي خسارة كل سنة معطى. حفظ هذا الفرق يمنع توسيع معادلة صحيحة إلى بيانات لم تعرف بالطريقة نفسها.

وإذا سقط صف من باء وبقي مجموع الأوزان تسعة أعشار، فلا توزعي الجزء الناقص على الصفوف الباقية بصمت. قد تكون النتيجة المحذوفة صفرًا أو خمسين أو مئة، ولكل احتمال أثر مختلف في المتوسط. اكتبي أن البيانات غير مكتملة، وارجعي إلى تعريف الملف. إعادة الأوزان إلى مجموع واحد عملية تغير السؤال إن لم يكن المطلوب صراحة متوسط الجزء المرصود وحده، وليست تعويضًا تلقائيًا عن نتيجة مجهولة.

واكتبي النتيجة مع مصدرها وحدودها: متوسط تحت توزيع احتمالي معطى، أو متوسط محقق لقائمة سنوات، أو احتمال تجاوز مبلغ محدد. لا تصفي أيًا منها بأنه خسارة مؤكدة أو أقصى احتياج مالي أو احتياطي مناسب بمجرده. لم نقدر خطرًا فعليًا أو نختبر صلاحية نموذج أو نراجع وثيقة. قيمة الأمثلة أنها تفصل المعلومات التي يحملها كل رقم، وتبين بالأعداد لماذا لا يقوم متوسط سنوي أو حد تجاوز منفرد مقام وصف التوزيع كله.