تصحيح تحدب السند: متى يظل التقدير مختلفًا؟

ما الذي يضيفه التحدب إلى المدة؟

يشرح CFA Institute أن المدة تقدم تقريبًا خطيًا لحساسية السعر للعائد، وأن التحدب يكملها بأثر من المرتبة الثانية يلتقط انحناء العلاقة في السند الثابت الخالي من الخيارات. نعتمد هذا الدور العام، ثم نبني حساباتنا المستقلة. [1]

نتخيل رسمًا يوضع فيه العائد أفقيًا والسعر رأسيًا. سنقارن ثلاث طرق تبدأ من النقطة المرجعية نفسها: دالة السعر التي نعرفها كاملة، وخط المدة الذي يستعمل ميلها عند تلك النقطة، وتقريب يضيف حدًا تربيعيًا إلى الخط. لا نحاول استخراج السعر من صورة مجهولة أو من جدول سوق؛ نضع الدالة صراحة كي نستطيع فحص كل رقم، وكي يكون الفرق بين الطرق ناتجًا عن الحساب لا عن اختلاف مصادر الأسعار.

ويهم أن تبقى كلمة «تقريب» ظاهرة في النتيجة. إضافة معلومة عن انحناء محلي لا تعني الاحتفاظ بجميع تفاصيل الدالة على كل مسافة من البداية. سنرى أن التقدير التربيعي أقرب في الصدمات التي اخترناها، لكنه لا يساوي إعادة التسعير تمامًا. لا نعالج الباقي باعتباره بالضرورة خطأ بيانات أو منازل عشرية؛ يمكن أن يبقى فرق حتى عندما نحتفظ بالقيم الكسرية قبل تقريبها للعرض.

ثبّت التدفق والزمن وأساس العائد

نعرّف ورقتنا التعليمية بأنها وعد افتراضي بتدفق واحد قدره ألف وحدة نقدية بعد أربع سنوات، دون أي دفعات قبل ذلك. نختار لها دالة السعر P(y)=1000/(1+y)^4، حيث يرمز الحرف إلى العائد السنوي الفعلي مكتوبًا كعدد عشري وأكبر من سالب واحد. هذه دالة النموذج المعطاة، لا سعر إصدار أو عائدًا جاريًا نقلناه من شاشة، ولا وصفًا شاملًا لكل طرق تسعير أدوات الدين في الأسواق.

عند البداية نضع العائد ثمانية بالمئة، أي ثمانية أجزاء من مئة، ونقسم الألف على قوة أربعة للعدد واحد فاصل صفر ثمانية. الناتج نحو سبعمئة وخمسة وثلاثين فاصل صفر اثنين تسعة ثمانية خمسة ثلاثة. سنعرضه أيضًا بالأرقام لتسهيل المقارنة، ونحتفظ بالكسر الكامل داخل ملف الحساب. لم نأخذ سعرًا مدورًا إلى أقرب وحدة ثم نشتق منه النتائج؛ كل النسب اللاحقة ترجع إلى القيمة غير المقربة من الدالة.

وفي جميع السيناريوهات تبقى السنوات الأربع كما هي، ولا تمر سنة فعلية بين سعر وآخر. كذلك لا يتغير مبلغ الألف، ولا ندخل استدعاء مبكرًا أو تعثرًا أو عمولة أو ضريبة. الصدمة الوحيدة تغيير العائد في مقام الدالة. لذلك تفسر النتائج إعادة تقييم لحظية تحت فروض ثابتة، ولا تعني أن شخصًا اشترى الورقة واحتفظ بها مدة ثم باعها أو قبض التدفق. هذا الفصل يمنع قراءة تغير السعر بوصفه سجل أرباح تحقق بالفعل.

ونكتب حركة العائد بالنقاط المئوية. الانتقال من ثمانية إلى عشرة بالمئة زيادة نقطتين مئويتين، فيدخل الحساب مقدار صفر فاصل صفر اثنين. أما زيادة ثمانية بالمئة بنسبة اثنين بالمئة من قيمتها فتنتهي عند ثمانية فاصل ستة عشر بالمئة، وهي صدمة مختلفة. تشابه عبارة «اثنان بالمئة» لا يعفي من تعيين معناها، لأن مربع الخطوة في الحد التربيعي يجعل اختيارها جزءًا أساسيًا من الحساب.

أعد التسعير للصدمتين قبل التقريب

نخفض العائد نقطتين مئويتين، من ثمانية إلى ستة بالمئة، فنحسب الألف مقسومة على قوة أربعة للعدد واحد فاصل صفر ستة. السعر نحو 792.093663، والزيادة نحو 57.063810 وحدة نقدية. بقسمة الزيادة على سعر البداية نفسه، وهو نحو 735.029853، نحصل على تغير موجب يقارب 7.763468 بالمئة. نسميه تغير السعر في النموذج، مع إبقاء المقام والفرض الزمني واضحين بجانبه.

ثم نرفع العائد من ثمانية إلى عشرة بالمئة، فنحسب الألف على قوة أربعة للعدد واحد فاصل واحد. السعر نحو 683.013455، أي نقص نحو 52.016397 وحدة من البداية، وتغير نسبي سالب يقارب 7.076773 بالمئة. مقدار الانخفاض أصغر من مقدار الارتفاع في الصدمة المقابلة، رغم تساوي خطوة العائد. لم نغير حيازة أو تدفقًا لنصنع الفرق؛ ظهرت اللاخطية من الدالة التي ثبتناها سلفًا.

ولكي تكون المقارنة صحيحة استعملنا سعر الثمانية بالمئة مقامًا للنسبتين. لو حسبت هبوطًا من سعر الستة بالمئة إلى سعر الثمانية، فقد غيرت نقطة البداية والمقام معًا؛ تلك ليست نسبة الصدمة الأخرى في الجدول. لا نجمع حركة ذهاب وحركة رجوع تحت عنوان واحد ثم نقارن مقاديرهما كأنهما صدمتان مستقلتان من المركز نفسه. ارسمِي نقطة البداية أولًا، ثم انطلقي منها إلى كل حالة على حدة.

احسب حد المدة وحد التحدب من الدالة

باشتقاق دالتنا بالنسبة إلى العائد، تكون نسبة الميل السالب إلى السعر مساوية لأربعة مقسومة على واحد زائد العائد؛ وهذا تعريف المدة المعدلة الذي نستعمله في الورقة. عند ثمانية بالمئة نحصل على D=4/1.08≈3.703704. وباشتقاقها مرتين وقسمة المشتقة الثانية على السعر نحصل على C=20/(1.08)^2≈17.146776. ثبتنا الزمن وأساس العائد نفسيهما عند استخراج العددين، ولم نأخذهما من أداة أخرى ذات اتفاقية مختلفة.

التقدير الخطي للتغير النسبي هو سالب المدة مضروبة في خطوة العائد. عند الخفض بمقدار صفر فاصل صفر اثنين يعطي موجب 7.407407 بالمئة، وعند الرفع بالمقدار نفسه يعطي سالب 7.407407 بالمئة. التناظر هنا خاص ببناء الخط المستقيم عند المرجع؛ لا نفرضه على السعر المعاد حسابه. وتبقى النتيجة نسبة من سعر البداية، لا مقدارًا نقديًا حتى نضربها في ذلك السعر على أساس الحيازة التي اخترناها.

نضيف إلى التغير الخطي نصف التحدب مضروبًا في مربع خطوة العائد. تربيع موجب أو سالب صفر فاصل صفر اثنين يعطي القيمة نفسها، فيكون التصحيح موجبًا في الحالتين داخل نموذجنا، وقدره نحو 0.342936 نقطة مئوية من تغير السعر. تصبح نتيجة الخفض موجب 7.750343 بالمئة، ونتيجة الرفع سالب 7.064472 بالمئة. أضفنا التصحيح إلى القيمة الموقعة، ولم نضفه إلى مقدار الخسارة بعد حذف إشارتها.

لهذا يكون رفع التقدير السالب نحو الصفر تقليلًا لمقدار الانخفاض، بينما رفع التقدير الموجب يزيد مقدار الارتفاع. لا يوجد تعارض بين إضافة الحد نفسه إلى الحالتين وتحرك المقدارين باتجاهين مختلفين. وإذا حوّلت النسب إلى مبالغ فاستعملي سعر البداية غير المقرب نفسه، ثم اجمعي التغير النقدي معه. لا تضربي مدة الأربع سنوات في الحيازة بدل المدة المعدلة؛ الرقم الذي استعملناه مستخرج من الدالة عند عائدها المرجعي.

ومن فحوص الورقة أن نعيد النتيجة إلى الصفر عندما تكون خطوة العائد صفرًا؛ يختفي حدا المدة والتحدب وتبقى قيمة البداية. ثم نراجع نصف المعامل في الحد التربيعي: حذفه يضاعف التصحيح دون أن يغير الدالة الأصلية. كذلك فإن إدخال العدد اثنين بدل صفر فاصل صفر اثنين في مربع الخطوة يضخم هذا الحد عشرة آلاف مرة. قد تنفذ الآلة الجمع والضرب بصورة صحيحة، لكن معنى المدخل غير صحيح؛ لذلك نراجع الصيغة والوحدة قبل تفسير أي فرق بوصفه خاصية مالية.

ما مقدار الفرق الباقي عن إعادة التسعير؟

في صدمة الخفض نقطتين مئويتين، يزيد التغير المعاد حسابه على التقدير التربيعي بنحو 0.013125 نقطة مئوية. وفي صدمة الرفع يكون التغير الفعلي في النموذج أكثر سلبية من التقدير التربيعي بنحو 0.012302 نقطة. كلمة «أقرب» لا تعني إذن «مطابقًا». احتفظنا بالكسر الكامل في المقارنة، ولذلك لا يختفي هذا الباقي بمجرد عرض ست منازل أو إضافة منازل أخرى إلى السعر أو إلى معامل التحدب.

ونكرر المقارنة بخطوة أصغر قدرها نقطة مئوية واحدة. عند الخفض يكون فرق إعادة التسعير عن التقدير التربيعي نحو موجب 0.001614 نقطة مئوية، وعند الرفع نحو سالب 0.001562. أما عند خطوة أربع نقاط مئوية، إلى أربعة أو اثني عشر بالمئة، فيصبح الفرق نحو موجب 0.108610 وسالب 0.095394 نقطة. في هذه الحالات المختارة زاد الفرق مع حجم الخطوة؛ هذه نتائج دالتنا وأرقامها، وليست حدًا مضمونًا لخطأ كل سند.

كما لا نفهم بقاء الخطأ على أنه دعوة لاختيار معامل تحدب جديد لإجبار كل صف على التطابق. عددنا الحالي يخص المرجع ثمانية بالمئة، وأبقيناه ثابتًا عبر السيناريوهات كي نفحص هذا التقريب بعينه. إذا أردت البدء من عائد جديد فستستخرج قيمته ومدته وتحدبه هناك، وتعلن أنك غيرت المرجع. أما استعمال الدالة الكاملة مباشرة، عندما تكون معلومة، فيجيب عن سؤال إعادة التسعير دون الحاجة إلى جعل التقريب مساويًا لها قسرًا.

اقرأ النتيجة ضمن حدود النموذج

تتضمن بطاقة القراءة التدفق والزمن المتبقي ودالة السعر وأساس العائد والقيمة المرجعية والخطوة والمدة والتحدب، ثم نتيجة الخط ونتيجة التقريب التربيعي وإعادة التسعير. وتوضح هل الأرقام تغيرات موقعة أو مقادير موجبة للربح والخسارة. بهذه الحقول يستطيع قارئ آخر تتبع سبب الفرق، بدل مقارنة ثلاثة أرقام متشابهة العنوان لكنها تستعمل مقامات أو نقاط بداية مختلفة دون تصريح.

ولا يعطينا هذا التمرين احتمال انتقال العائد إلى ستة أو عشرة بالمئة، ولا دخلًا أو عائد احتفاظ أو حماية من كل المخاطر. ليس لدينا سند بخيارات أو محفظة يتغير شكل منحنى عوائدها أو بيانات ائتمان وسيولة فعلية. ما تحققناه هو أثر حد تربيعي موجب في دالة مؤلفة محددة، وسبب اختلاف تغيري السعر تحت صدمتين متساويتين. احتفظي بهذه الحدود قبل نقل الاستنتاج إلى قرار شراء أو بيع يحتاج إلى معلومات أخرى.