فائدة FRN اليومية: آخر معدل لا يمثل الفترة كلها

جهّز جدول الأيام بدل الاكتفاء بخانة المعدل الأخير

توضح TreasuryDirect تراكم فائدة FRN يوميًا ودفعها كل ثلاثة أشهر. [1]

سنبدأ من جدول مؤلف، لا من نتيجة مزاد أو كشف حساب. يحتوي الجدول ثمانية أيام مرقمة، وأصلًا ثابتًا قدره ستة وثلاثون ألف دولار. المعدل السنوي الكلي المعطى هو 4.2٪ للأيام الثلاثة الأولى، ثم 3.6٪ للأيام الخمسة التالية. كلمة «كلي» تعني أننا لا نحتاج في هذا المثال إلى إضافة فارق آخر أو بناء مؤشر. المدخل المطلوب للحساب موجود مباشرة في كل صف، ولا ندّعي أنه معدل سوق سائد أو مستخرج من إصدار بعينه.

نفترض أن الفائدة بسيطة: نحسبها على الأصل المعطى، ولا نضيف فائدة الأمس إلى أصل اليوم. ونحدد أساس الحساب بثلاثمئة وستين يومًا. لم نفترض رسوم شراء أو ضرائب أو بيعًا لاحقًا، ولذلك لن تعبر النتيجة عن صافي ربح مستثمر. هذه الحدود ضرورية لقراءة المبلغ الذي سنجمعه؛ فعبارة «الفائدة المتراكمة في المثال» أدق من تسميته «العائد المضمون» أو «ما سيدخل الحساب فعلًا» من دون بيانات أخرى.

افصل في ورقة العمل ثلاث خانات: رقم اليوم، والمعدل السنوي المعطى له، والأصل الذي يجري الحساب عليه. لا تكتب 3.6٪ في رأس الجدول وتترك بقية الأيام بلا معدلات لمجرد أنه آخر رقم ظهر. هذا الترتيب سيحول آخر معلومة إلى وصف للماضي كله. أما الجدول الكامل فيحفظ انتقال المعدل بين اليوم الثالث والرابع، وهو الانتقال الذي يفسر فرق المبلغ بين الطريقة الصحيحة والطريقة التي تتجاهل الأيام السابقة.

حوّل المعدل السنوي إلى مبلغ يخص اليوم

تعرض ورقة شروط الخزانة أساس 360 وحدًا أدنى صفرًا، مع استثناء لفترة تثبيت المؤشر. [2]

في نموذجنا، نحول 4.2٪ إلى 0.042، ثم نضربها في الأصل، ثم نقسم على ثلاثمئة وستين. حاصل ضرب ستة وثلاثين ألفًا في 0.042 يساوي ألفًا وخمسمئة واثني عشر، وقسمته على ثلاثمئة وستين تعطي 4.20 دولار لليوم الواحد. لا نسمي 4.2٪ مبلغًا نقديًا؛ إنها معدل سنوي. تطابق الرقمين 4.2 و4.20 هنا نتيجة اختيار الأصل والأساس، وليس قاعدة تقول إن رقم المعدل يساوي فائدة اليوم لأي أصل.

نكرر العملية مع 3.6٪، أي 0.036. حاصل ضرب الأصل فيها ألف ومئتان وستة وتسعون، وعند القسمة على ثلاثمئة وستين نحصل على 3.60 دولار لليوم الواحد. إذا غيّرت الأصل إلى نصف قيمته وبقيت الشروط الأخرى كما هي، فسينخفض كل مبلغ يومي إلى نصفه. أما النسبتان السنويتان فتبقيان كما هما؛ فالمعدل مدخل مختلف عن المبلغ الناتج، حتى لو كتبناهما متجاورين في الجدول.

لا تضف فاصلة عشرية إلى النسبة عشوائيًا. إدخال 4.2 بدل 0.042 داخل عملية ضرب تتوقع كسرًا عشريًا سيضخم المبلغ مئة مرة. ويمكن كشف ذلك بوضع الوحدة في كل خطوة: أصل بالدولار، مضروب في معدل سنوي ككسر، ثم جزء يوم من أساس السنة المفترض. وإذا كان برنامجك يتوقع نسبة مئوية مكتوبة بإشارتها، فافهم تنسيق خانته أولًا؛ لا تعالج اختلاف طريقة الإدخال بضرب الناتج أو قسمته من غير مراجعة.

اجمع المقاطع التي بقي معدلها ثابتًا

لدينا ثلاثة أيام بفائدة يومية 4.20 دولار، فيكون مجموع المقطع الأول 12.60. ولدينا خمسة أيام بفائدة يومية 3.60 دولار، فيكون مجموع المقطع الثاني 18.00. نجمع المقطعين فنحصل على 30.60 دولارًا. هذه الطريقة لا تحتاج إلى كتابة ثماني عمليات منفصلة، لأن الأصل والمعدل والأساس ثابتة داخل كل مقطع. لكنها تحتفظ بالأيام الثمانية كلها؛ الاختصار جمع صفوف متطابقة، وليس حذف أيام أو تغيير معدلها.

للمراجعة، اكتب المبالغ اليومية الثمانية في صف واحد: ثلاثة مبالغ مقدار كل منها أربعة دولارات وعشرون سنتًا، ثم خمسة مبالغ مقدار كل منها ثلاثة دولارات وستون سنتًا. سيعطي جمعها المبلغ نفسه الذي أعطاه جمع المقطعين. إذا اختلف المساران فابحث عن يوم مفقود أو محسوب مرتين. يجب أن يساوي عدد الأيام ثلاثة مضافة إلى خمسة، لا ثمانية أيام لكل معدل، ولا سبعة أيام لأنك قرأت المسافة بين رقمي الأول والثامن فقط.

جرب الآن الطريقة الخاطئة التي تستخدم آخر معدل على الفترة كلها. ثمانية أيام مضروبة في 3.60 تعطي 28.80 دولارًا. الفرق عن 30.60 هو 1.80 دولار. ويمكن تفسيره مباشرة: الأيام الثلاثة الأولى كانت تستحق في مثالنا زيادة ستين سنتًا لليوم عن المبلغ المحسوب بالمعدل الأخير، وثلاث مرات ستين سنتًا تعطي الفرق نفسه. هذه مراجعة مستقلة لسبب النقص، وتكشف أي أيام فقدت معدلها الصحيح عند الاختصار.

المتوسط البسيط لا يحفظ مدة كل معدل

متوسط 4.2٪ و3.6٪ الحسابي البسيط هو 3.9٪. إذا استخدمناه للأيام الثمانية مع الأصل والأساس نفسيهما، نحصل على 31.20 دولارًا. يزيد هذا المبلغ ستين سنتًا على مثالنا. السبب أن هذا المتوسط أعطى المعدلين وزنًا متساويًا، كأن كل واحد منهما استمر أربعة أيام. لكن الجدول الذي اخترناه أعطى المعدل الأعلى ثلاثة أيام فقط، والمعدل الأقل خمسة؛ لا يستطيع متوسط يتجاهل هذا الفرق أن يعيد تمثيل الجدول بدقة.

المتوسط المناسب لهذا الاختصار المحدد يزن كل معدل بعدد أيامه. نحسب ثلاثة أمثال 4.2 مضافة إلى خمسة أمثال 3.6، ثم نقسم على ثمانية. يكون الناتج 3.825٪ سنويًا. وعند تحويله إلى كسر عشري واستخدامه مع ثمانية أيام، يعود مبلغ 30.60 دولارًا. هو معدل مكافئ لمجموعنا في ظل الفروض المكتوبة، ولا يعني أن أحدًا عرض 3.825٪ في يوم من الأيام أو أن هذا الرقم ظهر في جدول سوق حقيقي.

سبب نجاح الاختصار أن الأصل ثابت وأساس اليوم ثابت والفائدة غير مركبة في المسألة. إذا تغير أصل الحساب بين المقاطع، فلا تنقل المتوسط نفسه إلى حاصل ضرب أصل واحد تختاره كيفما شئت. احسب كل مقطع بمدخلاته أولًا، ثم عرّف بدقة أي متوسط تريد. في حالتنا لا نحتاج إلى مثل هذا التوسع؛ المطلوب معرفة لماذا تحافظ أوزان ثلاثة وخمسة على مجموع الفائدة، بينما تضيع هذه المعلومة عند الاكتفاء بوجود معدلين مختلفين فقط.

نفس البداية والنهاية قد تخفيان توزيعًا مختلفًا للأيام

أنشئ حالة بديلة يبقى فيها الأصل كما هو والفترة ثمانية أيام، ويظل المعدل الأول 4.2٪ والأخير 3.6٪. لكن اجعل المعدل الأعلى ليومين فقط، والأقل لستة. المجموع الجديد ثمانية دولارات وأربعون سنتًا للمقطع الأول، وواحد وعشرون دولارًا وستون سنتًا للثاني، أي ثلاثون دولارًا. انتهت الحالتان بالمعدل نفسه وامتدتا المدة نفسها، لكن الفائدة اختلفت لأن يومًا انتقل من مجموعة المعدل الأعلى إلى مجموعة المعدل الأقل.

وفي تجربة حسابية أخرى، احتفظ بثلاثة أيام للمعدل الأعلى وخمسة للأقل، وغيّر ترتيب هذه الأيام داخل جدولنا المفترض. سيبقى المجموع 30.60 ما دام كل مبلغ يومي يُجمع وحده والأصل ثابتًا ولا توجد فائدة مركبة. هذا فحص للجمع في المسألة المعطاة، وليس دليلًا على جواز تبديل تواريخ إصدار حقيقي. نحن نعيد ترتيب مدخلات مؤلفة مكتملة؛ لا نستنتج من ذلك أن تقويم السوق أو قواعد تحديد المعدل أو مواعيد الدفع لا تؤثر في أداة فعلية.

الفائدة من المقارنتين معرفة الحد الأدنى للمعلومات المطلوبة. قيمة أول يوم وآخر يوم لا تكفي، وعدد المعدلات المختلفة لا يكفي أيضًا. نحتاج إلى معرفة المعدل المعطى لكل يوم، أو مقاطع مكافئة تحفظ عدد أيامه. وإذا كان يوم من الجدول مجهولًا فلا تضع له صفرًا حتى يكتمل الجمع شكليًا. ضع علامة نقص على البيانات، واحسب ما هو معلوم منفصلًا إن احتجت، من دون تسمية الناتج مجموعًا نهائيًا للفترة الكاملة.

راجع المبلغ المتراكم من دون ادعاء قسيمة فعلية

يمكن مراجعة المثال بأربعة أسئلة عملية: هل غطى الجدول الأيام الثمانية مرة واحدة؟ هل تحولت النسب السنوية إلى كسور عشرية صحيحة؟ هل استُخدم الأصل نفسه وأساس ثلاثمئة وستين في كل يوم؟ وهل جُمعت مبالغ الفائدة من دون إضافتها إلى الأصل؟ إذا كانت الإجابات واضحة، فالجدول يبرهن المبلغ 30.60 ضمن شروطه. وإذا أردت مقارنته بالطريقتين البديلتين، فاحتفظ بالمبالغ الثلاثة وأسماء طرقها بدل عرضها كأنها نتائج صحيحة متنافسة للمهمة نفسها.

أما حساب إصدار فعلي فيبدأ من بياناته اليومية الفعلية وشروطه، وليس من عدد أيام اخترناه لتسهيل الأرقام. لم نحدد في هذا المقال تاريخ شراء أو دفع أو مزاد، ولم نستخرج المعدل من فارق ومؤشر، ولم ننفذ قاعدة تثبيت مؤشر على تقويم. لذلك لا تستخدم 30.60 مبلغًا واجب الدفع على حسابك أو قسيمة إصدار. والتمييز بين التراكم والدفع مهم حتى لو أتقنت كل عمليات الضرب؛ الناتج الذي حسبناه يصف فائدة أيام المثال، لا حركة نقدية أثبتنا وقوعها.

احفظ مع النتيجة جدول المدخلات وطريقة الحساب، لا المبلغ الأخير وحده. يمكن لشخص آخر عندئذ تتبع اثني عشر دولارًا وستين سنتًا إلى الأيام الثلاثة، وتتبع الثمانية عشر إلى الأيام الخمسة، ثم فحص المتوسط المكافئ. إذا ظهرت نتيجة مختلفة، تستطيع تحديد ما إذا كان الخلاف في توزيع الأيام أو المعدل أو الأصل أو الأساس. هذه القدرة على إعادة بناء الحساب هي ما يجعل المثال مفيدًا، بدل تحويل آخر نسبة معروضة إلى جواب لكل سؤال عن الفترة.